Упр.801 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что ни при каком целом n значение выражения n^2 +5n+16 не делится на 169. В техникуме для проведения вступительного экзамена было заготовлено 750 листов бумаги. Но так как поступающих оказалось на 45 человек больше, чем предполагалось, то, хотя и добавили еще 30 листов, каждый получил на один лист меньше. Сколько листов было заготовлено на каждого поступающего первоначально?

Пусть первоначально было $$x$$ поступающих и на каждого заготовили по $$y$$ листов. Тогда

$$xy=750.$$

После того как поступающих оказалось на $$45$$ человек больше, а листов добавили ещё $$30$$, на каждого стало на один лист меньше:

$$ (x+45)(y-1)=780. $$

Раскроем скобки:

$$ xy-x+45y-45=780 $$
$$ 750-x+45y-45=780 $$
$$ 45y-x=75 $$
$$ x=45y-75. $$

Подставим в уравнение $$xy=750$$:

$$ (45y-75)y=750 $$
$$ 45y^2-75y-750=0 $$
$$ 3y^2-5y-50=0. $$

Найдём корни:

$$ D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-50)=25+600=625, $$
$$ \sqrt{D}=25. $$

$$ y=\frac{5\pm 25}{6}. $$

Получаем:

$$ y_1=\frac{30}{6}=5,\qquad y_2=\frac{-20}{6}<0. $$

Отрицательное значение не подходит, значит, первоначально на каждого поступающего заготовили $$5$$ листов.

Ответ

$$5$$ листов.