Упр.799 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом натурального числа. Ученик за 3 блокнота и 2 тетради уплатил 400 р., другой ученик за 2 таких же блокнота и 4 тетради уплатил 320 р. Сколько стоил блокнот и сколько стоила тетрадь?

Подробный ответ

Пусть первое нечетное число равно $$2n+1$$, а второе — $$2m+1$$.

Тогда сумма их квадратов равна

$$ (2n+1)^2+(2m+1)^2=4n^2+4n+1+4m^2+4m+1=4(n^2+n+m^2+m)+2. $$

Получилось число вида $$4k+2$$, то есть оно делится на $$2$$, но не делится на $$4$$. Квадрат натурального числа либо делится на $$4$$, либо при делении на $$4$$ дает остаток $$1$$, поэтому число вида $$4k+2$$ квадратом натурального числа быть не может.

Пусть блокнот стоит $$x$$ руб., а тетрадь — $$y$$ руб. Тогда составим систему:

$$ \begin{cases} 3x+2y=400,\\ 2x+4y=320. \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, разделив его на $$2$$:

$$ \begin{cases} 3x+2y=400,\\ x+2y=160. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ 2x=240,\quad x=120. $$

Подставим в $$x+2y=160$$:

$$ 120+2y=160,\quad 2y=40,\quad y=20. $$