Упр.798 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если x и y — целые числа, такие, что число 3x+8y делится на 17, то 35x+65y так же делится на 17. Скорость моторной лодки по течению реки равна 23 км/ч, а против течения 17 км/ч. Найти скорость течения и собственную скорость лодки.

1) Докажем делимость:

$$ 35x+65y=17x+18x+48y+17y=17(x+y)+6(3x+8y). $$

Так как $$3x+8y$$ делится на $$17$$, то и $$6(3x+8y)$$ делится на $$17$$. Слагаемое $$17(x+y)$$ тоже делится на $$17$$. Значит, сумма $$35x+65y$$ делится на $$17$$.

2) Найдём скорости.

Пусть $$x$$ км/ч — скорость течения реки, а $$y$$ км/ч — собственная скорость лодки. Тогда:

$$ \begin{cases} y+x=23,\\ y-x=17. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 2y=40,\quad y=20. $$

Тогда

$$ x=23-20=3. $$

Ответ

$$35x+65y$$ делится на $$17$$. Скорость течения реки — $$3$$ км/ч, собственная скорость лодки — $$20$$ км/ч.