Упр.798 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$x$$ и $$y$$ — целые числа, такие, что число $$3x+8y$$ делится на $$17$$, то $$35x+65y$$ также делится на $$17$$.
2. Скорость моторной лодки по течению реки равна $$23\ \text{км/ч}$$, а против течения — $$17\ \text{км/ч}$$. Найти скорость течения и собственную скорость лодки.

1) Докажем делимость:

$$35x+65y=17x+18x+48y+17y=17(x+y)+6(3x+8y).$$

Так как $$3x+8y$$ делится на $$17$$, то и $$6(3x+8y)$$ делится на $$17$$. Слагаемое $$17(x+y)$$ тоже делится на $$17$$. Значит, сумма $$35x+65y$$ делится на $$17$$.

2) Найдём скорости.

Пусть $$x$$ км/ч — скорость течения реки, а $$y$$ км/ч — собственная скорость лодки. Тогда:

$$\begin{cases} y+x=23,\\ y-x=17. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2y=40,\quad y=20.$$

Тогда

$$x=23-20=3.$$

Ответ

$$35x+65y$$ делится на $$17$$. Скорость течения реки — $$3$$ км/ч, собственная скорость лодки — $$20$$ км/ч.