Упр.797 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что разность между трехзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может равняться квадрату натурального числа. Из пункта A в пункт B выезжает грузовой автомобиль со скоростью 50 км/ч. Через 24 мин вслед за ним выезжает автобус со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между пунктами A и B, если грузовой автомобиль и автобус прибыли в пункт B одновременно?

Пусть трёхзначное число имеет вид $$x=100a+10b+c,$$ а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — $$y=100c+10b+a,$$ где $$a$$ и $$c$$ — цифры от 1 до 9, а $$b$$ — цифра от 0 до 9.

Тогда их разность равна

$$ x-y=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c). $$

Число $$99(a-c)$$ делится на $$99$$. Если бы оно было квадратом натурального числа, то это число должно было бы быть кратно $$9$$ и $$11$$, а значит, разность $$a-c$$ должна была бы быть не меньше $$11$$.

Но $$a$$ и $$c$$ — цифры, поэтому $$|a-c|\le 8$$. Следовательно, разность $$99(a-c)$$ не может быть квадратом натурального числа.

Ответ

Таких трёхзначных чисел не существует.

Ход решения

Пусть грузовой автомобиль был в пути $$x$$ ч. Тогда автобус был в пути $$x-\frac{24}{60}=x-\frac{2}{5}$$ ч.

Составим уравнение по равенству пройденных расстояний:

$$ 50x=60\left(x-\frac{2}{5}\right). $$

Решим его:

$$ 50x=60x-24 \\ 60x-50x=24 \\ 10x=24 \\ x=2{,}4. $$

Значит, грузовой автомобиль был в пути $$2{,}4$$ ч. Тогда расстояние между пунктами $$A$$ и $$B$$ равно

$$ 50\cdot 2{,}4=120 \text{ км}. $$

Ответ

$$120 \text{ км}$$