Упр.796 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. С туристической базы вышла группа лыжников. Через 20 мин вслед за ней вышел опоздавший лыжник, который после 40 мин ходьбы догнал группу. С какой скоростью двигался опоздавший лыжник, если его скорость была больше скорости группы на 5 км/ч?

1) Пусть пятизначное число имеет вид $$x=10000a+1000b+100c+10d+e,$$ где $$a\neq 0.$$

После умножения на 9 получаем число, записанное теми же цифрами в обратном порядке:

$$9x=10000e+1000d+100c+10b+a.$$

Так как произведение $$9x$$ тоже пятизначное, то первая цифра исходного числа должна быть $$1$$, а последняя — $$9$$. Значит, $$a=1,\ e=9.$$

Тогда

$$9(10000+1000b+100c+10d+9)=90000+1000d+100c+10b+1.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$90000+9000b+900c+90d+81=90000+1000d+100c+10b+1,$$

$$8990b+800c+80=910d,$$

$$899b+80c+8=91d.$$

Из последнего равенства следует, что $$b=0,$$ иначе левая часть была бы слишком большой. Тогда

$$80c+8=91d.$$

Правая часть делится на 8, значит, $$91d-8$$ делится на 80. Подходит $$d=8,$$ тогда

$$80c+8=728,$$

$$80c=720,$$

$$c=9.$$

Итак, искомое число:

$$10989.$$

Ответ

$$10989$$

Ход решения

2) Пусть скорость группы лыжников равна $$x$$ км/ч, тогда скорость опоздавшего лыжника равна $$x+5$$ км/ч.

За $$20$$ мин группа шла $$\frac{1}{3}$$ ч, а опоздавший лыжник после выхода шёл $$40$$ мин, то есть $$\frac{2}{3}$$ ч.

К моменту встречи группа была в пути $$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$$ ч, значит, прошла $$x$$ км.

Опоздавший лыжник за $$\frac{2}{3}$$ ч прошёл столько же:

$$\frac{2}{3}(x+5)=x.$$

Решим уравнение:

$$2(x+5)=3x,$$

$$2x+10=3x,$$

$$x=10.$$

Тогда скорость опоздавшего лыжника:

$$x+5=15$$ км/ч.

Ответ

$$15\text{ км/ч}$$