Упр.795 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что при любом целом n значение выражения n^5-5n^3+4n делится на 120. Из пункта A выходит пешеход со скоростью 4 км/ч, через 45 мин из пункта A в том же направлении выезжает велосипедист со скоростью 8 км/ч. На каком расстоянии от пункта A велосипедист догонит пешехода?

Разложим выражение на множители:

$$n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4).$$

Сделаем замену $$n^2=x$$. Тогда

$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$

Следовательно,

$$n^5-5n^3+4n=n(n^2-1)(n^2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2).$$

Это произведение пяти последовательных целых чисел. Среди любых пяти последовательных чисел обязательно есть числа, кратные $$2$$, $$3$$, $$4$$ и $$5$$, значит, произведение делится на $$2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$$.

Теперь решим задачу о движении. Пусть пешеход был в пути $$x$$ ч, тогда велосипедист ехал $$x-\frac34$$ ч. Так как они встретились, их пройденные расстояния равны:

$$4x=8\left(x-\frac34\right).$$

Решим уравнение:

$$ 4x=8x-6 \\ 8x-4x=6 \\ 4x=6 \\ x=1{,}5. $$

Значит, пешеход был в пути $$1{,}5$$ ч, а велосипедист догнал его на расстоянии

$$1{,}5\cdot 4=6$$ км от пункта $$A$$.

Ответ

$$n^5-5n^3+4n$$ делится на $$120$$; велосипедист догонит пешехода на расстоянии $$6$$ км от пункта $$A$$.