Упр.794 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (2x^2+x)/(2x-9)•(8x/(4x^2-1)+9/(2x^2-11x+5)+9/(5+9x-2x^2 ))-10/(x-5);
2) (2y+13)/(2y-5) :(2y/(2y^2+3y-20)+8/(y^2-16)-3/(2y^2-13y+20)).

Подробный ответ

Докажем делимость:

$$ n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1). $$

Среди трёх последовательных целых чисел $$n-1,\;n,\;n+1$$ одно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Значит, произведение $$n(n-1)(n+1)$$ делится на $$6$$.

Осталось показать делимость на $$5$$. Если одно из чисел $$n-1,\;n,\;n+1$$ делится на $$5$$, то всё произведение уже делится на $$5$$. Если же ни одно из них не делится на $$5$$, то $$n$$ имеет вид $$5m+2$$ или $$5m+3$$, где $$m$$ — целое число.

$$ (5m+2)^2+1=25m^2+20m+5=5(5m^2+4m+1), $$
$$ (5m+3)^2+1=25m^2+30m+10=5(5m^2+6m+2). $$

Значит, $$n^2+1$$ делится на $$5$$. Следовательно, $$n^5-n$$ делится и на $$6$$, и на $$5$$, а значит, делится на $$30$$.

1)

$$ \frac{2x^2+x}{2x-9}\left(\frac{8x}{4x^2-1}+\frac{9}{2x^2-11x+5}+\frac{9}{5+9x-2x^2}\right)-\frac{10}{x-5} $$

Разложим знаменатели на множители:

$$ 4x^2-1=(2x-1)(2x+1), $$
$$ 2x^2-11x+5=(2x-1)(x-5), $$
$$ 5+9x-2x^2=-(2x^2-9x-5)=-(2x+1)(x-5). $$

Тогда

$$ \frac{8x}{(2x-1)(2x+1)}+\frac{9}{(2x-1)(x-5)}-\frac{9}{(2x+1)(x-5)} $$
$$ =\frac{8x(x-5)+9(2x+1)-9(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)(x-5)} $$
$$ =\frac{8x^2-40x+18}{(2x-1)(2x+1)(x-5)}. $$

Числитель раскладывается так:

$$ 8x^2-40x+18=2(2x-1)(2x-9). $$

Тогда

$$ \frac{2x^2+x}{2x-9}\cdot \frac{2(2x-1)(2x-9)}{(2x-1)(2x+1)(x-5)}-\frac{10}{x-5} $$
$$ =\frac{x(2x+1)}{2x-9}\cdot \frac{2(2x-9)}{(2x+1)(x-5)}-\frac{10}{x-5} $$
$$ =\frac{2x}{x-5}-\frac{10}{x-5} =\frac{2x-10}{x-5} =\frac{2(x-5)}{x-5}=2. $$

2)

$$ \frac{2y+13}{2y-5}:\left(\frac{2y}{2y^2+3y-20}+\frac{8}{y^2-16}-\frac{3}{2y^2-13y+20}\right) $$

Разложим знаменатели:

$$ 2y^2+3y-20=(2y-5)(y+4), $$
$$ y^2-16=(y-4)(y+4), $$
$$ 2y^2-13y+20=(2y-5)(y-4). $$

Тогда

$$ \frac{2y}{(2y-5)(y+4)}+\frac{8}{(y-4)(y+4)}-\frac{3}{(2y-5)(y-4)} $$
$$ =\frac{2y(y-4)+8(2y-5)-3(y+4)}{(2y-5)(y-4)(y+4)} $$
$$ =\frac{2y^2+5y-52}{(2y-5)(y-4)(y+4)}. $$

Числитель раскладывается:

$$ 2y^2+5y-52=(2y+13)(y-4). $$

Следовательно,

$$ \frac{2y+13}{2y-5}:\frac{(2y+13)(y-4)}{(2y-5)(y-4)(y+4)} =\frac{2y+13}{2y-5}\cdot \frac{(2y-5)(y-4)(y+4)}{(2y+13)(y-4)} =y+4. $$