Упр.794 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2024 года. Доказать, что при любом целом $$n$$ значение выражения $$n^5-n$$ делится на $$30$$.
Задание учебника 2013 года. Упростить выражение:

1) $$\frac{2x^2+x}{2x-9}\cdot\left(\frac{8x}{4x^2-1}+\frac{9}{2x^2-11x+5}+\frac{9}{5+9x-2x^2}\right)-\frac{10}{x-5}$$;

2) $$\frac{2y+13}{2y-5}:\left(\frac{2y}{2y^2+3y-20}+\frac{8}{y^2-16}-\frac{3}{2y^2-13y+20}\right)$$.

Подробный ответ

Докажем делимость:

$$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1).$$

Среди трёх последовательных целых чисел $$n-1,\;n,\;n+1$$ одно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Значит, произведение $$n(n-1)(n+1)$$ делится на $$6$$.

Осталось показать делимость на $$5$$. Если одно из чисел $$n-1,\;n,\;n+1$$ делится на $$5$$, то всё произведение уже делится на $$5$$. Если же ни одно из них не делится на $$5$$, то $$n$$ имеет вид $$5m+2$$ или $$5m+3$$, где $$m$$ — целое число.

$$(5m+2)^2+1=25m^2+20m+5=5(5m^2+4m+1),$$
$$(5m+3)^2+1=25m^2+30m+10=5(5m^2+6m+2).$$

Значит, $$n^2+1$$ делится на $$5$$. Следовательно, $$n^5-n$$ делится и на $$6$$, и на $$5$$, а значит, делится на $$30$$.

$$\frac{2x^2+x}{2x-9}\left(\frac{8x}{4x^2-1}+\frac{9}{2x^2-11x+5}+\frac{9}{5+9x-2x^2}\right)-\frac{10}{x-5}$$

Разложим знаменатели на множители:

$$4x^2-1=(2x-1)(2x+1),$$
$$2x^2-11x+5=(2x-1)(x-5),$$
$$5+9x-2x^2=-(2x^2-9x-5)=-(2x+1)(x-5).$$

Тогда

$$\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)}+\frac{9}{(2x-1)(x-5)}-\frac{9}{(2x+1)(x-5)}$$
$$=\frac{8x(x-5)+9(2x+1)-9(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)(x-5)}$$
$$=\frac{8x^2-40x+18}{(2x-1)(2x+1)(x-5)}.$$

Числитель раскладывается так:

$$8x^2-40x+18=2(2x-1)(2x-9).$$

Тогда

$$\frac{2x^2+x}{2x-9}\cdot \frac{2(2x-1)(2x-9)}{(2x-1)(2x+1)(x-5)}-\frac{10}{x-5}$$
$$=\frac{x(2x+1)}{2x-9}\cdot \frac{2(2x-9)}{(2x+1)(x-5)}-\frac{10}{x-5}$$
$$=\frac{2x}{x-5}-\frac{10}{x-5} =\frac{2x-10}{x-5} =\frac{2(x-5)}{x-5}=2.$$

$$\frac{2y+13}{2y-5}:\left(\frac{2y}{2y^2+3y-20}+\frac{8}{y^2-16}-\frac{3}{2y^2-13y+20}\right)$$

Разложим знаменатели:

$$2y^2+3y-20=(2y-5)(y+4),$$
$$y^2-16=(y-4)(y+4),$$
$$2y^2-13y+20=(2y-5)(y-4).$$

Тогда

$$\frac{2y}{(2y-5)(y+4)}+\frac{8}{(y-4)(y+4)}-\frac{3}{(2y-5)(y-4)}$$
$$=\frac{2y(y-4)+8(2y-5)-3(y+4)}{(2y-5)(y-4)(y+4)}$$
$$=\frac{2y^2+5y-52}{(2y-5)(y-4)(y+4)}.$$

Числитель раскладывается:

$$2y^2+5y-52=(2y+13)(y-4).$$

Следовательно,

$$\frac{2y+13}{2y-5}:\frac{(2y+13)(y-4)}{(2y-5)(y-4)(y+4)} =\frac{2y+13}{2y-5}\cdot \frac{(2y-5)(y-4)(y+4)}{(2y+13)(y-4)} =y+4.$$