Упр.793 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что значение выражения $$n^3+3n^2+5n+3$$ делится на 3 при любом натуральном $$n$$.
2. Решить уравнение:
   1) $$3x^2+8x+5=0$$;
   2) $$5x^2+4x-12=0$$;
   3) $$\frac{6}{4x^2-1}-\frac{x}{2x-1}=\frac{5}{2x+1}$$;
   4) $$\frac{5}{x-1}+\frac{3x-3}{2x+2}=\frac{2x^2+8}{x^2-1}$$;
   5) $$\frac{30}{x^2-1}-\frac{13}{x^2+x+1}=\frac{7+18x}{x^3-1}$$;
   6) $$\frac{2}{x^2-x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x-1}{x^3+1}$$.

1) Преобразуем выражение:

$$n^3+3n^2+5n+3=n^3+6n-n+3n^2+3$$

$$=(n^3-n)+3n^2+6n+3=n(n^2-1)+3(n^2+2n+1)$$

$$=n(n-1)(n+1)+3(n+1)^2$$

Так как произведение трёх последовательных натуральных чисел $$n(n-1)(n+1)$$ делится на $$3$$, то и всё выражение делится на $$3$$.

2) $$3x^2+8x+5=0$$

$$D=8^2-4\cdot 3\cdot 5=64-60=4$$

$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 2}{2\cdot 3}$$

$$x_1=-\frac{10}{6}=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{-6}{6}=-1$$

3) $$5x^2+4x-12=0$$

$$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-12)=16+240=256$$

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 16}{2\cdot 5}$$

$$x_1=-2,\qquad x_2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$$

4) $$\frac{6}{4x^2-1}-\frac{x}{2x-1}=\frac{5}{2x+1}$$

ОДЗ: $$x\ne \pm \frac12$$.

Умножим на $$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$$:

$$6-x(2x+1)-5(2x-1)=0$$

$$6-2x^2-x-10x+5=0$$

$$-2x^2-11x+11=0$$

$$2x^2+11x-11=0$$

$$D=11^2-4\cdot 2\cdot(-11)=121+88=209$$

$$x_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{209}}{4}$$

5) $$\frac{5}{x-1}+\frac{3x-3}{2x+2}=\frac{2x^2+8}{x^2-1}$$

ОДЗ: $$x\ne \pm 1$$.

Преобразуем:

$$\frac{5}{x-1}+\frac{3(x-1)}{2(x+1)}=\frac{2x^2+8}{(x-1)(x+1)}$$

Умножим на $$2(x-1)(x+1)$$:

$$10(x+1)+3(x-1)^2-2(2x^2+8)=0$$

$$10x+10+3x^2-6x+3-4x^2-16=0$$

$$-x^2+4x-3=0$$

$$x^2-4x+3=0$$

$$(x-1)(x-3)=0$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=3$$.

6) $$\frac{30}{x^2-1}-\frac{13}{x^2+x+1}=\frac{7+18x}{x^3-1}$$

ОДЗ: $$x\ne 1$$, так как $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$, и $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$.

Умножим на $$(x-1)(x+1)(x^2+x+1)$$:

$$30(x^2+x+1)-13(x-1)(x+1)-(7+18x)(x+1)=0$$

$$30x^2+30x+30-13x^2+13-7x-7-18x^2-18x=0$$

$$-x^2+5x+36=0$$

$$x^2-5x-36=0$$

$$(x-9)(x+4)=0$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

7) $$\frac{2}{x^2-x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x-1}{x^3+1}$$

ОДЗ: $$x\ne -1$$, так как $$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$$.

Умножим на $$(x+1)(x^2-x+1)$$:

$$2(x+1)-(x^2-x+1)-(2x-1)=0$$

$$2x+2-x^2+x-1-2x+1=0$$

$$-x^2+x+2=0$$

$$x^2-x-2=0$$

$$(x-2)(x+1)=0$$

Корень $$x=-1$$ не подходит по ОДЗ, остаётся $$x=2$$.

Ответ

1) делится на $$3$$ при любом натуральном $$n$$;
2) $$x=-\frac{5}{3},\,-1$$;
3) $$x=-2,\,\frac{6}{5}$$;
4) $$x=\frac{-11-\sqrt{209}}{4},\,\frac{-11+\sqrt{209}}{4}$$;
5) $$x=3$$;
6) $$x=-4,\,9$$;
7) $$x=2$$.