Упр.792 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что значение выражения $$n^3+11n$$ делится на 6 при любом натуральном $$n$$.
2. При каких значениях $$k$$ число −2 является корнем уравнения $$(k-2)x^2-7x-2k^2=0$$?

1) Преобразуем выражение:

$$n^3+11n=n^3-n+12n=n(n^2-1)+12n=n(n-1)(n+1)+12n.$$

Произведение $$n(n-1)(n+1)$$ — это произведение трёх последовательных натуральных чисел, значит, оно делится на $$6$$: среди трёх последовательных чисел одно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$.

Число $$12n$$ тоже делится на $$6$$.

Следовательно, сумма $$n^3+11n$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

2) Подставим $$x=-2$$ в уравнение $$$(k-2)x^2-7x-2k^2=0$$:

$$(k-2)\cdot(-2)^2-7\cdot(-2)-2k^2=0$$

$$4(k-2)+14-2k^2=0$$

$$4k-8+14-2k^2=0$$

$$-2k^2+4k+6=0$$

Разделим на $$-2$$:

$$k^2-2k-3=0$$

$$(k-3)(k+1)=0$$

Отсюда $$k=3$$ или $$k=-1$$.

Ответ

$$n^3+11n$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$; $$k=-1$$ и $$k=3$$.