Упр.792 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что значение выражения n^3+11n делится на 6 при любом натуральном n. При каких значениях k число -2 является корнем уравнения (k-2) x^2-7x-2k^2=0?

Подробный ответ

1) Преобразуем выражение:

$$n^3+11n=n^3-n+12n=n(n^2-1)+12n=n(n-1)(n+1)+12n.$$

Произведение $$n(n-1)(n+1)$$ — это произведение трёх последовательных натуральных чисел, значит, оно делится на $$6$$: среди трёх последовательных чисел одно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$.

Число $$12n$$ тоже делится на $$6$$.

Следовательно, сумма $$n^3+11n$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

2) Подставим $$x=-2$$ в уравнение $$$(k-2)x^2-7x-2k^2=0$$:

$$ (k-2)\cdot(-2)^2-7\cdot(-2)-2k^2=0 $$

$$ 4(k-2)+14-2k^2=0 $$

$$ 4k-8+14-2k^2=0 $$

$$ -2k^2+4k+6=0 $$

Разделим на $$-2$$:

$$ k^2-2k-3=0 $$

$$ (k-3)(k+1)=0 $$

Отсюда $$k=3$$ или $$k=-1$$.