Упр.791 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что сумма ?10?^15+?10?^17-74 делится на 9. Найти множество значений k, при которых уравнение 4y^2-3y+k=0 не имеет действительных корней.

Подробный ответ

1) Рассмотрим число $$10^{15}+10^{17}-74.$$

При делении степени числа $$10$$ с любым натуральным показателем на $$9$$ остаток равен $$1$$, так как $$10 \equiv 1 \pmod{9}.$$ Тогда

$$10^{15} \equiv 1 \pmod{9}, \qquad 10^{17} \equiv 1 \pmod{9}.$$

Следовательно,

$$10^{15}+10^{17}-74 \equiv 1+1-74 \equiv 2-2 \equiv 0 \pmod{9}.$$

Значит, число $$10^{15}+10^{17}-74$$ делится на $$9$$.

2) Найдём значения $$k$$, при которых уравнение $$4y^2-3y+k=0$$ не имеет действительных корней.

Для этого дискриминант должен быть отрицательным:

$$D=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 4 \cdot k=9-16k.$$

Требуем:

$$9-16k<0,$$