Упр.790 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех натуральных чисел от 1 до 100?
- Доказать, что при любом $$y$$ положительно значение выражения:
1) $$(y-3)(y-1)+5$$;
2) $$(y-4)(y-6)+3$$.
1) В произведении $$1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100$$ число нулей в конце определяется количеством множителей $$10=2\cdot 5$$. Двоек в этом произведении больше, чем пятёрок, значит, нужно посчитать, сколько раз встречается множитель $$5$$.
Кратные $$5$$ среди чисел от 1 до 100:
$$5,\ 10,\ 15,\ 20,\ 25=5\cdot 5,\ 30,\ 35,\ 40,\ 45,\ 50=5\cdot 10,\ 55,\ 60,\ 65,\ 70,\ 75=5\cdot 15,\ 80,\ 85,\ 90,\ 95,\ 100=5\cdot 20.$$
Всего кратных $$5$$ — $$20$$, но числа $$25,\ 50,\ 75,\ 100$$ дают по одной дополнительной пятёрке. Поэтому
$$20+4=24.$$
Значит, произведение оканчивается $$24$$ нулями.
2) Преобразуем выражения к виду суммы квадрата и положительного числа.
$$(y-3)(y-1)+5 = y^2-4y+3+5 = y^2-4y+8 = (y-2)^2+4.$$
Так как $$(y-2)^2 \ge 0$$ при любом $$y$$, то
$$(y-2)^2+4>0.$$
Следовательно, $$(y-3)(y-1)+5>0$$ при любом $$y$$.
Аналогично:
$$(y-4)(y-6)+3 = y^2-10y+24+3 = y^2-10y+27 = (y-5)^2+2.$$
Так как $$(y-5)^2 \ge 0$$, то
$$(y-5)^2+2>0.$$
Следовательно, $$(y-4)(y-6)+3>0$$ при любом $$y$$.
Ответ
1) $$24$$ нуля; 2) оба выражения положительны при любом $$y$$.
