Упр.79 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$-1 < x < 0$$ или $$0 < x < 1$$, то значение выражения $$\left(\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{x}{4}-\frac{1}{4x}\right)$$ отрицательно.
2. Пусть $$a?b$$. Верно ли неравенство:
   1. $$a-3?b-3$$;
   2. $$5a?5b$$;
   3. $$a+2{,}5 < b+2{,}5$$;
   4. $$a-4 > b-4$$?

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\right)\cdot\left(\frac12-\frac{x}{4}-\frac{1}{4x}\right)$$

$$\frac{(x-1)^2-(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{2x-x^2-1}{4x}$$

$$\frac{x^2-2x+1-x^2-2x-1}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{-(x-1)^2}{4x}$$

$$\frac{-4x}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{-(x-1)^2}{4x} = \frac{x-1}{x+1}$$

Теперь рассмотрим знак полученного выражения. Если $$-1<x<0$$ или $$0<x<1$$, то:

$$x-1<0,\qquad x+1>0$$

Значит, дробь

$$\frac{x-1}{x+1}$$

отрицательна. Следовательно, и исходное выражение отрицательно.

Ответ

Выражение отрицательно.

Пусть $$a\le b$$. Проверим каждое неравенство:

1. $$a-3\le b-3$$
   
   При вычитании одного и того же числа знак неравенства не меняется, значит, верно.

2. $$5a\le 5b$$
   
   При умножении на положительное число знак неравенства не меняется, значит, верно.

3. $$a+2{,}5<b+2{,}5$$
   
   При прибавлении одного и того же числа знак неравенства не меняется, поэтому должно быть $$a+2{,}5\le b+2{,}5$$. Запись с знаком $$<$$ неверна.

4. $$a-4>b-4$$
   
   При вычитании одного и того же числа знак неравенства не меняется, поэтому должно быть $$a-4\le b-4$$. Запись с знаком $$>$$ неверна.

Ответ

1) верно; 2) верно; 3) неверно; 4) неверно.