Упр.788 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) $$111^{11}+12^{12}+13^{13}$$ делится на $$10$$, так как последние цифры этих чисел равны соответственно $$1$$, $$6$$ и $$3$$. Тогда

$$1+6+3=10,$$

значит, сумма оканчивается цифрой $$0$$ и делится на $$10$$.

2) Упростим выражение:

$$\left(\frac{a+1}{\sqrt{a-1}}-\sqrt{a+1}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a+1}}-\frac{1}{\sqrt{a-1}}\right)$$

$$=\frac{\frac{a+1-(\sqrt{a+1})(\sqrt{a-1})}{\sqrt{a-1}}}{\frac{\sqrt{a-1}-\sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}}} =\frac{\frac{a+1-\sqrt{(a+1)(a-1)}}{\sqrt{a-1}}}{\frac{\sqrt{a-1}-\sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}}}$$

$$=\frac{\sqrt{a+1}\bigl(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\bigr)}{1}\cdot \frac{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}-\sqrt{a+1}} =-(a+1).$$

3) Упростим выражение:

$$\left(\frac{1}{\sqrt{1-a}}-\sqrt{1+a}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}-1\right)$$

$$=\frac{\frac{1-\sqrt{(1+a)(1-a)}}{\sqrt{1-a}}}{\frac{1-\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a^2}}} =\frac{1-\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}}:\frac{1-\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a^2}}$$

$$=\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}} =\sqrt{1+a}.$$

4) Упростим выражение:

$$\left(\frac{a+1}{\sqrt a}+\frac{1}{a-\sqrt a}-\frac{a}{1+\sqrt a}\right)\cdot \frac{\sqrt3-a\sqrt3}{a+1}$$

$$=\left(\frac{a+1}{\sqrt a}+\frac{1}{\sqrt a(\sqrt a-1)}-\frac{a}{\sqrt a+1}\right)\cdot \frac{\sqrt3(1-a)}{a+1}$$

После приведения к общему знаменателю получаем:

$$\frac{\sqrt a(1+a)}{a+1}\cdot \frac{\sqrt3(1-a)}{a+1}=-\sqrt3.$$

Ответ

1) $$111^{11}+12^{12}+13^{13}$$ делится на $$10$$;

2) $$-(a+1)$$;

3) $$\sqrt{1+a}$$;

4) $$-\sqrt3$$.