Упр.787 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (v(3+v5) +v(3-v5) )^2;
2) (v(13+5v4,2) +v(13-5v4,2) )^2;
3) v(v(?25?^2-?24?^2 )/(?21,5?^2-?14,5?^2 ));
4) v((?23?^2-?22?^2)/v(?13?^2-?12?^2 )).

Подробный ответ

Докажем делимость:

$$333^{555}+555^{333}=(111\cdot 3)^{555}+(111\cdot 5)^{333}$$
$$=(37\cdot 3\cdot 3)^{555}+(37\cdot 3\cdot 5)^{333}$$
$$=(37\cdot 9)^{555}+(37\cdot 15)^{333}$$
$$=37^{555}\cdot 9^{555}+37^{333}\cdot 15^{333}$$
$$=37^{333}\bigl(37^{222}\cdot 9^{555}+15^{333}\bigr).$$

Следовательно, сумма делится на $$37$$.

1)

$$\left(\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}\right)^2$$
$$=(3+\sqrt5)+2\sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}+(3-\sqrt5)$$
$$=6+2\sqrt{9-5}=6+2\sqrt4=6+4=10.$$

2)

$$\left(\sqrt{13+5\sqrt{4,2}}+\sqrt{13-5\sqrt{4,2}}\right)^2$$
$$=(13+5\sqrt{4,2})+2\sqrt{(13+5\sqrt{4,2})(13-5\sqrt{4,2})}+(13-5\sqrt{4,2})$$
$$=26+2\sqrt{169-25\cdot 4,2}$$
$$=26+2\sqrt{169-105}=26+2\sqrt{64}=26+16=42.$$

3)

$$\sqrt{\frac{\sqrt{25^2-24^2}}{21,5^2-14,5^2}}$$
$$=\sqrt{\frac{\sqrt{(25-24)(25+24)}}{(21,5-14,5)(21,5+14,5)}}$$
$$=\sqrt{\frac{\sqrt{1\cdot 49}}{7\cdot 36}}=\sqrt{\frac{7}{7\cdot 36}}=\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac16.$$

4)

$$\sqrt{\frac{23^2-22^2}{\sqrt{13^2-12^2}}}$$
$$=\sqrt{\frac{(23-22)(23+22)}{\sqrt{(13-12)(13+12)}}}$$
$$=\sqrt{\frac{1\cdot 45}{\sqrt{1\cdot 25}}}=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt9=3.$$