Упр.786 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2024 года. Если между цифрами двузначного числа $$x$$ вписать это же число, то полученное четырёхзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти $$x$$.
2. Задание учебника 2013 года. Упростить выражение:
   
   1) $$a\sqrt{4a}-2a^2\sqrt{\frac{1}{a}}+\frac{1}{3}a\sqrt{25a}$$, где $$a>0$$;
   
   2) $$\sqrt{a^3b^5}-6ab\sqrt{ab^3}+0{,}4b^2\sqrt{a^3b}$$, где $$a?0,\ b?0$$.

1) Пусть двузначное число равно $$\overline{ab}=10a+b.$$

Тогда число, полученное при вписывании этого же числа между цифрами, имеет вид $$\overline{aabb}=1000a+100a+10b+b=1100a+11b.$$

По условию:

$$66(10a+b)=1100a+11b$$

$$660a+66b=1100a+11b$$

$$440a=55b$$

$$b=8a.$$

Так как $$a$$ и $$b$$ — цифры, то подходит только $$a=1,\ b=8.$$

Значит, $$x=18.$$

2) Упростим выражение:

$$a\sqrt{4a}-2a^2\sqrt{\frac{1}{a}}+\frac{1}{3}a\sqrt{25a}, \quad a>0.$$

Преобразуем корни:

$$a\sqrt{4a}=a\cdot 2\sqrt{a}=2a\sqrt{a},$$

$$\sqrt{\frac{1}{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}}, \qquad \sqrt{25a}=5\sqrt{a}.$$

Тогда

$$2a\sqrt{a}-2a^2\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{3}a\cdot 5\sqrt{a}$$

$$=2a\sqrt{a}-\frac{2a^2}{\sqrt{a}}+\frac{5a\sqrt{a}}{3}.$$

Так как $$a>0,$$ то $$\frac{a^2}{\sqrt{a}}=a\sqrt{a}.$$ Получаем:

$$2a\sqrt{a}-2a\sqrt{a}+\frac{5a\sqrt{a}}{3}=\frac{5a\sqrt{a}}{3}.$$

3) Упростим выражение:

$$\sqrt{a^3b^5}-6ab\sqrt{ab^3}+0{,}4b^2\sqrt{a^3b}, \quad a\ge 0,\ b\ge 0.$$

Вынесем полные квадраты из-под корня:

$$\sqrt{a^3b^5}=ab^2\sqrt{ab},$$

$$\sqrt{ab^3}=b\sqrt{ab},$$

$$\sqrt{a^3b}=a\sqrt{ab}.$$

Тогда

$$ab^2\sqrt{ab}-6ab\cdot b\sqrt{ab}+0{,}4b^2\cdot a\sqrt{ab}$$

$$=ab^2\sqrt{ab}-6ab^2\sqrt{ab}+0{,}4ab^2\sqrt{ab}$$

$$=-4{,}6ab^2\sqrt{ab}.$$

Ответ

1) $$x=18$$; 2) $$\frac{5a\sqrt{a}}{3}$$; 3) $$-4{,}6ab^2\sqrt{ab}$$.