Упр.781 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1/x^2 +2•1/x=1 1/4. Решить систему неравенств:
1) {(5x-4?x-3
-2x+11>x+1
12-3x>4-5x)+
2) {(3x?5-6x
-3x+1?4x-1
7-2x>2x+9)+
3) {(3x-2>2(x-3)+5x
2x^2+(5+x)^2>3(x-5)(x+5) )+
4) {(8x(x+2)(x-2)<(2x-3)(4x^2+6x+9)-5x (1/4 x+2)(2-1/4 x)-(3-1/4 x)(1/4 x+2)>-3)+
5) {(2(x-1/2)(x+3)>2x(x+3)
(x+3)/3>(3x+4)/2)+
6) {((3x+1/2)(2-x)+1/2 (x+1)>3(3-x)(3+x)-1
2-(2x+3)^2+(3+2x)(2x-3)<-2 1/3 (9+x)+1/3)+

1. $$\frac{1}{x^2}+2\cdot\frac{1}{x}=1\frac{1}{4}, \quad x\ne 0$$

   $$\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{5}{4}$$

   Умножим на $$4x^2$$:

   $$4+8x=5x^2$$

   $$5x^2-8x-4=0$$

   $$D=(-8)^2-4\cdot 5\cdot(-4)=64+80=144$$

   $$x=\frac{8\pm 12}{10}$$

   $$x_1=-\frac{4}{10}=-0{,}4,\quad x_2=\frac{20}{10}=2$$

2. $$ \begin{cases} 5x-4\ge x-3 \\ -2x+11>x+1 \\ 12-3x>4-5x \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} 4x\ge 1 \\ -3x>-10 \\ 2x>-8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge \frac14 \\ x<\frac{10}{3} \\ x>-4 \end{cases} $$

   Пересечение решений:

   $$\frac14\le x<\frac{10}{3}$$

3. $$ \begin{cases} 3x-2>2(x-3)+5x \\ 2x^2+(5+x)^2>3(x-5)(x+5) \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} 3x-2>2x-6+5x \\ 2x^2+25+10x+x^2>3(x^2-25) \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} -4x>-4 \\ 3x^2+10x+25>3x^2-75 \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x<1 \\ 10x>-100 \end{cases} \Rightarrow x>-10 $$

   Пересечение:

   $$-10<x<1$$

4. $$ \begin{cases} 8x(x+2)(x-2)<(2x-3)(4x^2+6x+9)-5x \\ \left(\frac14 x+2\right)\left(2-\frac14 x\right)-\left(3-\frac14 x\right)\left(\frac14 x+2\right)>-3 \end{cases} $$

   $$8x(x^2-4)<8x^3-27-5x$$

   $$8x^3-32x<8x^3-27-5x$$

   $$-27x<-27$$

   $$x>1$$

   Во втором неравенстве:

   $$\left(\frac14 x+2\right)\left(2-\frac14 x\right)-\left(3-\frac14 x\right)\left(\frac14 x+2\right)=\left(\frac14 x+2\right)\left(-1+\frac14 x\right)$$

   После упрощения получаем:

   $$x<4$$

   Пересечение:

   $$1<x<4$$

5. $$ \begin{cases} 2\left(x-\frac12\right)(x+3)>2x(x+3) \\ \frac{x+3}{3}>\frac{3x+4}{2} \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} (2x-1)(x+3)>2x(x+3) \\ 2(x+3)>3(3x+4) \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x+3<0 \\ 2x+6>9x+12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-3 \\ x<-\frac67 \end{cases} $$

   Пересечение:

   $$x<-3$$

6. $$ \begin{cases} \left(3x+\frac12\right)(2-x)+\frac12(x+1)>3(3-x)(3+x)-1 \\ 2-(2x+3)^2+(3+2x)(2x-3)<-2\frac13(9+x)+\frac13 \end{cases} $$

   После упрощения первого неравенства:

   $$6x-3x^2+\frac32>26-3x^2$$

   $$6x&gt{24{,}5}$$

   $$x>\frac{49}{12}$$

   После упрощения второго неравенства:

   $$-12x-\frac{16}{3}<-\frac{7}{3}(9+x)+\frac13$$

   $$-12x+\frac23x<-20\frac23+16$$

   $$x>\frac{9}{29}$$

   Пересечение:

   $$x>\frac{49}{12}$$

Ответ

1) $$x=-0{,}4,\; 2$$; 2) $$\frac14\le x<\frac{10}{3}$$; 3) $$-10<x<1$$; 4) $$1<x<4$$; 5) $$x<-3$$; 6) $$x>\frac{49}{12}$$.