Упр.780 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

v(10+v24+v40+v60) =v2+v3+v5. Доказать, что при любых a и b выполняется неравенство a^2 +4 b^2 -2a-12b+10?0.

1) Докажем равенство:

$$\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$ \left(\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}\right)^2=(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)^2. $$

Тогда

$$ 10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}=2+3+5+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}. $$

Так как

$$ \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt6,\quad \sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10},\quad \sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}, $$

то левая часть действительно равна правой:

$$ 10+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}=10+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}. $$

Следовательно, равенство верно.

2) Докажем неравенство:

$$a^2+4b^2-2a-12b+10\ge 0.$$

Преобразуем выражение:

$$ a^2+4b^2-2a-12b+10=(a^2-2a+1)+(4b^2-12b+9). $$

Тогда

$$ a^2+4b^2-2a-12b+10=(a-1)^2+(2b-3)^2\ge 0. $$

Сумма квадратов неотрицательна при любых $a$ и $b$.

Ответ

$$\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5,$$
$$a^2+4b^2-2a-12b+10\ge 0.$$