Упр.78 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Доказать, что если $$x+\frac{1}{x}=a$$, то $$x^3+\frac{1}{x^3}=a(a^2-3)$$.
- Записать, используя знаки неравенства, утверждения:
1) сегодня в Москве $$0^\circ\mathrm{C}$$, а в Санкт-Петербурге температура ($$t^\circ\mathrm{C}$$) не выше, чем в Москве;
2) вода поднялась на высоту ($$h$$ м), не меньшую 5 м;
3) температура ($$t^\circ\mathrm{C}$$) воды в жидком состоянии при нормальном давлении не меньше $$0^\circ\mathrm{C}$$; не больше $$100^\circ\mathrm{C}$$;
4) скорость ($$v$$ км/ч) движения автомобильного транспорта в городе не больше 60 км/ч.
Возведём в куб обе части равенства $$x+\frac{1}{x}=a$$:
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=a^3$$
$$x^3+3x^2\cdot\frac{1}{x}+3x\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=a^3$$
$$x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}=a^3$$
$$x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)=a^3$$
Так как $$x+\frac{1}{x}=a$$, получаем:
$$x^3+\frac{1}{x^3}+3a=a^3$$
$$x^3+\frac{1}{x^3}=a^3-3a=a(a^2-3)$$
Что и требовалось доказать.
Запишем утверждения с помощью знаков неравенства:
Температура в Санкт-Петербурге не выше, чем в Москве:
$$t\le 0^\circ\text{C}$$
Вода поднялась на высоту не меньшую 5 м:
$$h\ge 5\text{ м}$$
Температура воды в жидком состоянии при нормальном давлении:
$$0^\circ\text{C}\le t\le 100^\circ\text{C}$$
Скорость движения автомобильного транспорта в городе не больше 60 км/ч:
$$v\le 60\text{ км/ч}$$
Ответ
$$x^3+\frac{1}{x^3}=a(a^2-3).$$
1) $$t\le 0^\circ\text{C}$$; 2) $$h\ge 5\text{ м}$$; 3) $$0^\circ\text{C}\le t\le 100^\circ\text{C}$$; 4) $$v\le 60\text{ км/ч}$$.
