Упр.77 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Выполнить действия:
а) $$\left(\frac{c-d}{c^2+dc}-\frac{c}{d^2+cd}\right):\left(\frac{d^2}{c^3-cd^2}+\frac{1}{c+d}\right);$$
б) $$\left(\frac{2n}{k+2n}-\frac{4n^2}{k^2+4nk+4n^2}\right):\left(\frac{2n}{k^2-4n^2}+\frac{1}{2n-k}\right);$$
в) $$\left(\frac{2q}{2q+m}-\frac{4q^2}{4q^2+4mq+m^2}\right):\left(\frac{2q}{4q^2-m^2}+\frac{1}{m-2q}\right).$$ - Найти наибольшее целое число $$x$$, удовлетворяющее неравенству:
1) $$\frac{x}{6}?1$$;
2) $$\frac{x}{4}<-2$$.
$$\left(\frac{c-d}{c^2+cd}-\frac{c}{d^2+cd}\right):\left(\frac{d^2}{c^3-cd^2}+\frac{1}{c+d}\right)$$
Разложим знаменатели на множители:
$$c^2+cd=c(c+d), \quad d^2+cd=d(c+d), \quad c^3-cd^2=c(c-d)(c+d).$$Тогда
$$\frac{c-d}{c(c+d)}-\frac{c}{d(c+d)} =\frac{d(c-d)-c^2}{cd(c+d)} =-\frac{c^2+d^2-cd}{cd(c+d)},$$
а также
$$\frac{d^2}{c(c-d)(c+d)}+\frac{1}{c+d} =\frac{d^2+c(c-d)}{c(c-d)(c+d)} =\frac{c^2+d^2-cd}{c(c-d)(c+d)}.$$Делим дроби:
$$-\frac{c^2+d^2-cd}{cd(c+d)}:\frac{c^2+d^2-cd}{c(c-d)(c+d)} =-\frac{c-d}{d} =\frac{d-c}{d}.$$$$\left(\frac{2n}{k+2n}-\frac{4n^2}{k^2+4nk+4n^2}\right):\left(\frac{2n}{k^2-4n^2}+\frac{1}{2n-k}\right)$$
Заметим, что
$$k^2+4nk+4n^2=(k+2n)^2,\quad k^2-4n^2=(k-2n)(k+2n),\quad 2n-k=-(k-2n).$$Тогда
$$\frac{2n}{k+2n}-\frac{4n^2}{(k+2n)^2} =\frac{2n(k+2n)-4n^2}{(k+2n)^2} =\frac{2nk}{(k+2n)^2},$$
а
$$\frac{2n}{(k-2n)(k+2n)}+\frac{1}{2n-k} =\frac{2n}{(k-2n)(k+2n)}-\frac{1}{k-2n} =\frac{2n-(k+2n)}{(k-2n)(k+2n)} =-\frac{k}{(k-2n)(k+2n)}.$$Теперь
$$\frac{2nk}{(k+2n)^2}:\left(-\frac{k}{(k-2n)(k+2n)}\right) =\frac{2n(2n-k)}{k+2n}.$$$$\left(\frac{2q}{2q+m}-\frac{4q^2}{4q^2+4mq+m^2}\right):\left(\frac{2q}{4q^2-m^2}+\frac{1}{m-2q}\right)$$
Имеем
$$4q^2+4mq+m^2=(2q+m)^2,\quad 4q^2-m^2=(2q-m)(2q+m),\quad m-2q=-(2q-m).$$Тогда
$$\frac{2q}{2q+m}-\frac{4q^2}{(2q+m)^2} =\frac{2q(2q+m)-4q^2}{(2q+m)^2} =\frac{2qm}{(2q+m)^2},$$
а
$$\frac{2q}{(2q-m)(2q+m)}+\frac{1}{m-2q} =\frac{2q}{(2q-m)(2q+m)}-\frac{1}{2q-m} =\frac{2q-(2q+m)}{(2q-m)(2q+m)} =-\frac{m}{(2q-m)(2q+m)}.$$Следовательно,
$$\frac{2qm}{(2q+m)^2}:\left(-\frac{m}{(2q-m)(2q+m)}\right) =\frac{2q(2q-m)}{2q+m}.$$
Найдём наибольшие целые числа, удовлетворяющие неравенствам:
$$\frac{x}{6}>1 \Rightarrow x>6,$$
значит, наибольшее целое число не существует.$$\frac{x}{4}<-2 \Rightarrow x<-8,$$
значит, наибольшее целое число равно $$-9$$.
Ответ
1) $$\frac{d-c}{d}$$; 2) $$\frac{2n(2n-k)}{k+2n}$$; 3) $$\frac{2q(2q-m)}{2q+m}$$; 4) наибольшего целого числа нет; 5) $$-9$$.
