Упр.77 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) ((c-d)/(c^2+dc) — c/(d^2+cd)) : (d^2/(c^3-cd^2 ) + 1/(c+d));
2) (2n/(k+2n) — (4n^2)/(k^2+4nk+4n^2 )) : (2n/(k^2-4n^2 ) + 1/(2n-k));
3) (2q/(2q+m) — (4q^2)/(4q^2+4mq+m^2 )) : (2q/(4q^2-m^2 ) + 1/(m-2q)).
Найти наибольшее целое число x, удовлетворяющее неравенству:
1) x/6?1; 2) x/4<-2.

1. $$\left(\frac{c-d}{c^2+cd}-\frac{c}{d^2+cd}\right):\left(\frac{d^2}{c^3-cd^2}+\frac{1}{c+d}\right)$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$c^2+cd=c(c+d), \quad d^2+cd=d(c+d), \quad c^3-cd^2=c(c-d)(c+d).$$

   Тогда
   $$ \frac{c-d}{c(c+d)}-\frac{c}{d(c+d)} =\frac{d(c-d)-c^2}{cd(c+d)} =-\frac{c^2+d^2-cd}{cd(c+d)}, $$
   а также
   $$ \frac{d^2}{c(c-d)(c+d)}+\frac{1}{c+d} =\frac{d^2+c(c-d)}{c(c-d)(c+d)} =\frac{c^2+d^2-cd}{c(c-d)(c+d)}. $$

   Делим дроби:
   $$ -\frac{c^2+d^2-cd}{cd(c+d)}:\frac{c^2+d^2-cd}{c(c-d)(c+d)} =-\frac{c-d}{d} =\frac{d-c}{d}. $$

2. $$\left(\frac{2n}{k+2n}-\frac{4n^2}{k^2+4nk+4n^2}\right):\left(\frac{2n}{k^2-4n^2}+\frac{1}{2n-k}\right)$$

   Заметим, что
   $$k^2+4nk+4n^2=(k+2n)^2,\quad k^2-4n^2=(k-2n)(k+2n),\quad 2n-k=-(k-2n).$$

   Тогда
   $$ \frac{2n}{k+2n}-\frac{4n^2}{(k+2n)^2} =\frac{2n(k+2n)-4n^2}{(k+2n)^2} =\frac{2nk}{(k+2n)^2}, $$
   а
   $$ \frac{2n}{(k-2n)(k+2n)}+\frac{1}{2n-k} =\frac{2n}{(k-2n)(k+2n)}-\frac{1}{k-2n} =\frac{2n-(k+2n)}{(k-2n)(k+2n)} =-\frac{k}{(k-2n)(k+2n)}. $$

   Теперь
   $$ \frac{2nk}{(k+2n)^2}:\left(-\frac{k}{(k-2n)(k+2n)}\right) =\frac{2n(2n-k)}{k+2n}. $$

3. $$\left(\frac{2q}{2q+m}-\frac{4q^2}{4q^2+4mq+m^2}\right):\left(\frac{2q}{4q^2-m^2}+\frac{1}{m-2q}\right)$$

   Имеем
   $$4q^2+4mq+m^2=(2q+m)^2,\quad 4q^2-m^2=(2q-m)(2q+m),\quad m-2q=-(2q-m).$$

   Тогда
   $$ \frac{2q}{2q+m}-\frac{4q^2}{(2q+m)^2} =\frac{2q(2q+m)-4q^2}{(2q+m)^2} =\frac{2qm}{(2q+m)^2}, $$
   а
   $$ \frac{2q}{(2q-m)(2q+m)}+\frac{1}{m-2q} =\frac{2q}{(2q-m)(2q+m)}-\frac{1}{2q-m} =\frac{2q-(2q+m)}{(2q-m)(2q+m)} =-\frac{m}{(2q-m)(2q+m)}. $$

   Следовательно,
   $$ \frac{2qm}{(2q+m)^2}:\left(-\frac{m}{(2q-m)(2q+m)}\right) =\frac{2q(2q-m)}{2q+m}. $$

Найдём наибольшие целые числа, удовлетворяющие неравенствам:

1. $$\frac{x}{6}>1 \Rightarrow x>6,$$
   значит, наибольшее целое число не существует.

2. $$\frac{x}{4}<-2 \Rightarrow x<-8,$$
   значит, наибольшее целое число равно $$-9$$.

Ответ

1) $$\frac{d-c}{d}$$; 2) $$\frac{2n(2n-k)}{k+2n}$$; 3) $$\frac{2q(2q-m)}{2q+m}$$; 4) наибольшего целого числа нет; 5) $$-9$$.