Упр.769 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (x+2)(x-1)?0;
2) (x+2) (x-1)^2?0;
3) (x+2) (x-1)^2>0;
4) (2-x)(x+3x^2 )?0.

Обозначим скорость мотоциклиста через $$x$$, а скорость велосипедиста через $$y$$. Пусть до встречи они были в пути $$t$$ часов.

Тогда мотоциклист проехал до встречи $$tx$$, а после встречи до пункта $$B$$ — ещё $$2x$$. Значит, весь путь:

$$tx+2x.$$

А велосипедист проехал до встречи $$ty$$, а после встречи до пункта $$A$$ — ещё $$4{,}5y$$. Значит, весь путь:

$$ty+4{,}5y.$$

Так как расстояние между пунктами одно и то же, получаем:

$$tx+2x=ty+4{,}5y.$$

До встречи они ехали одно и то же время, поэтому расстояния до места встречи пропорциональны скоростям:

$$tx=4{,}5y,$$

а также

$$ty=2x.$$

Из равенства $$tx=4{,}5y$$ и $$ty=2x$$ получаем:

$$\frac{tx}{ty}=\frac{4{,}5y}{2x} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{4{,}5y}{2x} \Rightarrow 2x^2=4{,}5y^2,$$

откуда

$$y=\frac{2}{3}x.$$

Подставим в равенство $$tx=2x$$:

$$t=\frac{2x}{x}=2.$$

Тогда время в пути мотоциклиста:

$$t+2=2+2=4 \text{ ч},$$

а велосипедиста:

$$t+4{,}5=2+4{,}5=6{,}5 \text{ ч}.$$

Ответ

Мотоциклист был в пути $$4$$ ч, велосипедист — $$6{,}5$$ ч.

Ход решения

1) $$\,(x+2)(x-1)\ge 0.$$

Нули: $$x=-2$$ и $$x=1$$. По методу интервалов:

$$x\in(-\infty;-2]\cup[1;+\infty).$$

2) $$\,(x+2)(x-1)^2\le 0.$$

Так как $$\,(x-1)^2\ge 0$$, знак произведения определяется множителем $$x+2$$, а точка $$x=1$$ входит в ответ как нуль квадратного множителя:

$$x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}.$$

3) $$\,(x+2)(x-1)^2>0.$$

Квадратный множитель положителен при $$x\ne 1$$, поэтому нужно, чтобы $$x+2>0$$:

$$x\in(-2;1)\cup(1;+\infty).$$

4) $$\,(2-x)(x+3x^2)\ge 0.$$

Преобразуем:

$$ (2-x)(x+3x^2)=(2-x)x(1+3x)\ge 0. $$

Нули: $$x=-\frac13,\; x=0,\; x=2.$$ По методу интервалов получаем:

$$x\in\left(-\infty;-\frac13\right]\cup[0;2].$$

Ответ

1) $$(-\infty;-2]\cup[1;+\infty)$$

2) $$(-\infty;-2]\cup\{1\}$$

3) $$(-2;1)\cup(1;+\infty)$$

4) $$\left(-\infty;-\frac13\right]\cup[0;2]$$