Упр.767 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке; скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях?
Решить неравенство:
1) $$x^2-10x+30<0$$;
2) $$-x^2+x-1<0$$;
3) $$x^2+4x+5<0$$;
4) $$2x^2-4x+13>0$$;
5) $$4x^2-9x+7<0$$;
6) $$-11+8x-2x^2<0$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ время, за которое первый спортсмен пробегает всю дорожку, тогда второй пробегает её за $$x+5$$ с.

Если они бегут в одном направлении, то за $$30$$ с первый пробежит на один круг больше второго:

$$\frac{30}{x}-\frac{30}{x+5}=1$$

Решим уравнение:

$$30(x+5)-30x=x(x+5)$$

$$30x+150-30x=x^2+5x$$

$$x^2+5x-150=0$$

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-150)=25+600=625$$

$$x=\frac{-5\pm 25}{2}$$

$$x_1=-15,\quad x_2=10$$

Подходит только $$x=10$$, значит, первый спортсмен пробегает дорожку за $$10$$ с, а второй — за $$15$$ с.

Если они побегут навстречу друг другу, то их относительная скорость равна

$$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$$

Значит, встретятся через

$$1:\frac{1}{6}=6\text{ с}$$

Теперь решим неравенства.

$$x^2-10x+30<0$$
$$D=(-10)^2-4\cdot 1\cdot 30=100-120=-20<0$$
Так как $$a=1>0$$, то $$x^2-10x+30>0$$ при всех $$x$$. Решений нет.
$$-x^2+x-1<0$$
Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:
$$x^2-x+1>0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0$$
Так как $$a=1>0$$, выражение положительно при всех $$x$$. Следовательно, исходное неравенство верно при всех $$x$$.
$$x^2+4x+5<0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4<0$$
Так как $$a=1>0$$, то $$x^2+4x+5>0$$ при всех $$x$$. Решений нет.
$$2x^2-4x+13>0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 13=16-104=-88<0$$
Так как $$a=2>0$$, выражение положительно при всех $$x$$. Следовательно, неравенство верно при всех $$x$$.
$$4x^2-9x+7<0$$
$$D=(-9)^2-4\cdot 4\cdot 7=81-112=-31<0$$
Так как $$a=4>0$$, то $$4x^2-9x+7>0$$ при всех $$x$$. Решений нет.
$$-11+8x-2x^2<0$$
Перепишем:
$$2x^2-8x+11>0$$
$$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 11=64-88=-24<0$$
Так как $$a=2>0$$, выражение положительно при всех $$x$$. Следовательно, исходное неравенство верно при всех $$x$$.