Упр.766 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются через каждые 8 мин. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль?
Решить неравенство:
1) $$x^2-6x+9>0$$;
2) $$x^2+24x+144?0$$;
3) $$\frac{1}{2}x^2-4x+8<0$$;
4) $$\frac{1}{3}x^2+4x+12?0$$;
5) $$4x^2-4x+1>0$$;
6) $$5x^2+2x+\frac{1}{5}<0$$.

Подробный ответ

Пусть скорости автомобилей равны $$x$$ и $$y$$ трассы в минуту. Тогда за 1 минуту при движении в одном направлении они сближаются на $$x-y$$ трассы, а при движении в противоположных направлениях — на $$x+y$$ трассы.

По условию:

$$\begin{cases} x-y=\dfrac{1}{56},\\ x+y=\dfrac{1}{8}. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x=\dfrac{1}{56}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{56}+\dfrac{7}{56}=\dfrac{8}{56}=\dfrac{1}{7},$$
$$x=\dfrac{1}{14}.$$

Тогда

$$y=x-\dfrac{1}{56}=\dfrac{1}{14}-\dfrac{1}{56}=\dfrac{4}{56}-\dfrac{1}{56}=\dfrac{3}{56}.$$

Время, за которое каждый автомобиль проедет всю трассу:

$$t_1=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1/14}=14 \text{ мин},$$
$$t_2=\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{3/56}=\dfrac{56}{3}=18\dfrac{2}{3}\text{ мин}=18\text{ мин }40\text{ с}.$$

Решим неравенства.

$$x^2-6x+9>0$$
$$(x-3)^2>0$$
Квадрат положителен при всех $$x$$, кроме $$x=3$$.
$$x^2+24x+144\le 0$$
$$(x+12)^2\le 0$$
Квадрат неотрицателен, значит неравенство выполняется только при
$$x=-12.$$
$$\dfrac12 x^2-4x+8<0$$ $$x^2-8x+16<0$$ $$(x-4)^2<0$$ Квадрат не может быть отрицательным, решений нет.
$$\dfrac13 x^2+4x+12\ge 0$$
$$x^2+12x+36\ge 0$$
$$(x+6)^2\ge 0$$
Это верно при любом $$x$$.
$$4x^2-4x+1>0$$
$$(2x-1)^2>0$$
Квадрат положителен при всех $$x$$, кроме $$x=\dfrac12$$.
$$5x^2+2x+\dfrac15<0$$ $$25x^2+10x+1<0$$ $$(5x+1)^2<0$$ Решений нет.