Упр.763 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a^2+ab-6b^2)/(a^2-ab-2b^2 );
2) (2a^2+5ab-3b^2)/(4a^2+4ab-3b^2 );
3) (8a^3+27b^3)/(2a^2+ab-3b^2 ).
Решить неравенство:
1) (x-5)(x+3)>0;
2) (x+15)(x+4)<0; 3) (x-7)(x+11)?0; 4) (x-12)(x-13)?0.

1. Сократим дробь:

   $$\frac{a^2+ab-6b^2}{a^2-ab-2b^2}=\frac{a^2+3ab-2ab-6b^2}{a^2-2ab+ab-2b^2}=\frac{a(a+3b)-2b(a+3b)}{a(a-2b)+b(a-2b)}$$
   $$=\frac{(a+3b)(a-2b)}{(a-2b)(a+b)}=\frac{a+3b}{a+b}.$$

   $$\frac{2a^2+5ab-3b^2}{4a^2+4ab-3b^2}=\frac{2a^2+6ab-ab-3b^2}{4a^2+6ab-2ab-3b^2}=\frac{2a(a+3b)-b(a+3b)}{2a(2a+3b)-b(2a+3b)}$$
   $$=\frac{(a+3b)(2a-b)}{(2a+3b)(2a-b)}=\frac{a+3b}{2a+3b}.$$

   $$\frac{8a^3+27b^3}{2a^2+ab-3b^2}=\frac{(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)}{2a^2+3ab-2ab-3b^2}$$
   $$=\frac{(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)}{a(2a+3b)-b(2a+3b)}=\frac{(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)}{(2a+3b)(a-b)}$$
   $$=\frac{4a^2-6ab+9b^2}{a-b}.$$

2. Решим неравенства:

   $$1)\ (x-5)(x+3)>0.$$
   Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:
   $$x<-3 \quad \text{или} \quad x>5.$$

   $$2)\ (x+15)(x+4)<0.$$
   Произведение отрицательно между корнями:
   $$-15<x<-4.$$

   $$3)\ (x-7)(x+11)\le 0.$$
   Произведение не положительно между корнями, включая их:
   $$-11\le x\le 7.$$

   $$4)\ (x-12)(x-13)\ge 0.$$
   Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями:
   $$x\le 12 \quad \text{или} \quad x\ge 13.$$

Ответ

1) $$\frac{a+3b}{a+b}$$; 2) $$\frac{a+3b}{2a+3b}$$; 3) $$\frac{4a^2-6ab+9b^2}{a-b}$$.
1) $$(-\infty;-3)\cup(5;+\infty)$$; 2) $$(-15;-4)$$; 3) $$[-11;7]$$; 4) $$(-\infty;12]\cup[13;+\infty)$$.