Упр.761 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) y=-2x^2-8x-8;
2) y=3x^2+12x+16;
3) y=2x^2-12x+19;
4) y=3+2x-x^2;
5) y=-4x^2-4x;
6) y=12x-4x^2-9.

Докажем утверждение от противного. Пусть оба квадратных уравнения

$$x^2+p_1x+q_1=0 \quad \text{и} \quad x^2+p_2x+q_2=0$$

не имеют действительных корней. Тогда их дискриминанты отрицательны:

$$D_1=p_1^2-4q_1<0,\qquad D_2=p_2^2-4q_2<0.$$

Отсюда

$$p_1^2<4q_1,\qquad p_2^2<4q_2.$$

Перемножим неравенства:

$$p_1^2p_2^2<16q_1q_2,$$

значит

$$|p_1p_2|<4\sqrt{q_1q_2}.$$

Но по условию

$$p_1p_2=2(q_1+q_2).$$

Тогда

$$2(q_1+q_2)<4\sqrt{q_1q_2}.$$

Делим на $2$:

$$q_1+q_2<2\sqrt{q_1q_2}.$$

Переносим в одну сторону:

$$q_1-2\sqrt{q_1q_2}+q_2<0,$$

то есть

$$\left(\sqrt{q_1}-\sqrt{q_2}\right)^2<0,$$

что невозможно, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Противоречие.

Следовательно, хотя бы одно из данных уравнений имеет действительные корни.

1) $$y=-2x^2-8x-8=-2(x^2+4x+4)=-2(x+2)^2.$$

Вершина параболы: $$(-2;0).$$ Ось симметрии: $$x=-2.$$ Ветви направлены вниз.

$$y=0 \text{ при } x=-2,\qquad y<0 \text{ при } x\ne -2,\qquad y>0 \text{ — нет таких } x.$$

Функция возрастает при $$x\le -2$$ и убывает при $$x\ge -2.$$

2) $$y=3x^2+12x+16=3(x^2+4x)+16=3(x+2)^2+4.$$

Вершина параболы: $$(-2;4).$$ Ось симметрии: $$x=-2.$$ Ветви направлены вверх.

$$y>0 \text{ при всех } x,\qquad y=0 \text{ — нет},\qquad y<0 \text{ — нет}.$$

Функция убывает при $$x\le -2$$ и возрастает при $$x\ge -2.$$

3) $$y=2x^2-12x+19=2(x^2-6x)+19=2(x-3)^2+1.$$

Вершина параболы: $$ (3;1). $$ Ось симметрии: $$x=3.$$ Ветви направлены вверх.

$$y>0 \text{ при всех } x,\qquad y=0 \text{ — нет},\qquad y<0 \text{ — нет}.$$

Функция убывает при $$x\le 3$$ и возрастает при $$x\ge 3.$$

4) $$y=3+2x-x^2=-x^2+2x+3=-(x^2-2x-3)=-(x-1)^2+4.$$

Вершина параболы: $$ (1;4). $$ Ось симметрии: $$x=1.$$ Ветви направлены вниз.

$$y>0 \text{ при } -1<x<3,\qquad y=0 \text{ при } x=-1 \text{ и } x=3,\qquad y<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>3.$$

Функция возрастает при $$x\le 1$$ и убывает при $$x\ge 1.$$

5) $$y=-4x^2-4x=-4(x^2+x)=-4\left(x+\frac12\right)^2+1.$$

Вершина параболы: $$\left(-\frac12;1\right).$$ Ось симметрии: $$x=-\frac12.$$ Ветви направлены вниз.

$$y>0 \text{ при } -1<x<0,\qquad y=0 \text{ при } x=-1 \text{ и } x=0,\qquad y<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>0.$$

Функция возрастает при $$x\le -\frac12$$ и убывает при $$x\ge -\frac12.$$

6) $$y=12x-4x^2-9=-4x^2+12x-9=-\left(2x-3\right)^2.$$

Вершина параболы: $$\left(\frac32;0\right).$$ Ось симметрии: $$x=\frac32.$$ Ветви направлены вниз.

$$y=0 \text{ при } x=\frac32,\qquad y<0 \text{ при } x\ne \frac32,\qquad y>0 \text{ — нет таких } x.$$

Функция возрастает при $$x\le \frac32$$ и убывает при $$x\ge \frac32.$$

Ответ

Доказано, что хотя бы одно из уравнений имеет действительные корни. Для функций:

1) $$y=-2(x+2)^2,$$ вершина $$(-2;0)$$;

2) $$y=3(x+2)^2+4,$$ вершина $$(-2;4)$$;

3) $$y=2(x-3)^2+1,$$ вершина $$(3;1)$$;

4) $$y=-(x-1)^2+4,$$ вершина $$(1;4)$$;

5) $$y=-4\left(x+\frac12\right)^2+1,$$ вершина $$\left(-\frac12;1\right)$$;

6) $$y=-\left(2x-3\right)^2,$$ вершина $$\left(\frac32;0\right).$$