Упр.760 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Найти все такие значения r, при которых квадратное уравнение x^2+(r-1)x-2(r-1)=0 имеет действительные корни x_1 и x_2, удовлетворяющие условию |x_1-x_2 |=3. (Устно.) Используя график функции y=ax^2+bx+c (рис.74), установить ее свойства. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 kolyagin8 760 827
Для квадратного уравнения
$$x^2+(r-1)x-2(r-1)=0$$
по формуле Виета и формуле корней найдём дискриминант:
$$D=(r-1)^2-4\cdot 1\cdot\bigl(-2(r-1)\bigr)=(r-1)^2+8(r-1)=r^2+6r-7.$$
Тогда корни уравнения:
$$x_{1,2}=\frac{-(r-1)\pm \sqrt{r^2+6r-7}}{2}=\frac{1-r\pm \sqrt{r^2+6r-7}}{2}.$$
Разность корней равна:
$$|x_1-x_2|=\left|\frac{1-r+\sqrt{r^2+6r-7}}{2}-\frac{1-r-\sqrt{r^2+6r-7}}{2}\right|=\sqrt{r^2+6r-7}.$$
По условию:
$$\sqrt{r^2+6r-7}=3.$$
Возведём в квадрат:
$$r^2+6r-7=9$$
$$r^2+6r-16=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-16)=36+64=100,$$
$$r=\frac{-6\pm 10}{2}.$$
Получаем:
$$r_1=-8,\qquad r_2=2.$$
Оба значения подходят, так как при них дискриминант исходного уравнения неотрицателен.
Ответ
$$r=-8,\; 2.$$
