Упр.760 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Найти все такие значения $$r$$, при которых квадратное уравнение $$x^2+(r-1)x-2(r-1)=0$$ имеет действительные корни $$x_1$$ и $$x_2$$, удовлетворяющие условию $$|x_1-x_2|=3$$.
2. (Устно.) Используя график функции $$y=ax^2+bx+c$$ (рис. 74), установить её свойства.

Для квадратного уравнения

$$x^2+(r-1)x-2(r-1)=0$$

по формуле Виета и формуле корней найдём дискриминант:

$$D=(r-1)^2-4\cdot 1\cdot\bigl(-2(r-1)\bigr)=(r-1)^2+8(r-1)=r^2+6r-7.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{-(r-1)\pm \sqrt{r^2+6r-7}}{2}=\frac{1-r\pm \sqrt{r^2+6r-7}}{2}.$$

Разность корней равна:

$$|x_1-x_2|=\left|\frac{1-r+\sqrt{r^2+6r-7}}{2}-\frac{1-r-\sqrt{r^2+6r-7}}{2}\right|=\sqrt{r^2+6r-7}.$$

По условию:

$$\sqrt{r^2+6r-7}=3.$$

Возведём в квадрат:

$$r^2+6r-7=9$$

$$r^2+6r-16=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-16)=36+64=100,$$

$$r=\frac{-6\pm 10}{2}.$$

Получаем:

$$r_1=-8,\qquad r_2=2.$$

Оба значения подходят, так как при них дискриминант исходного уравнения неотрицателен.

Ответ

$$r=-8,\; 2.$$