Упр.76 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) x^2 — (x^3-4xy^2)/(x^3-2x^2 y+xy^2 ) · (x^2-2xy+y^2)/(x-2y) при x=-5; y=-1/2;
2) 3/2 — (3n^2-6n+3)/(2n^2+2n+2) : (n-1)/(n^3+n^2+n) при n=1/3;
3) (3/(a-b) — 3a/(b^2-a^2 )) : (6a+3b)/(a^2+2ab+b^2 ) при a=3 1/4; b=-0,75;
4) (mn/(m^2-n^2 ) + n/(2n-2m)) · (m^2-n^2)/2n при m=6 1/2; n=-1,5.
Найти наименьшее целое число n, удовлетворяющее неравенству:
1) n?-3;
2) n?6;
3) n>6;
4) n>-4;
5) n>-4,21;
6) n?3,24.

Подробный ответ

Упростим выражение:
$$x^2-\frac{x^3-4xy^2}{x^3-2x^2y+xy^2}\cdot\frac{x^2-2xy+y^2}{x-2y}.$$
Разложим на множители:
$$x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x-2y)(x+2y),$$
$$x^3-2x^2y+xy^2=x(x^2-2xy+y^2)=x(x-y)^2,$$
$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.$$
Тогда
$$ x^2-\frac{x(x-2y)(x+2y)}{x(x-y)^2}\cdot\frac{(x-y)^2}{x-2y} =x^2-(x+2y)=x^2-x-2y. $$
Подставим $$x=-5,\ y=-\frac12$$:
$$ x^2-x-2y=25-(-5)-2\cdot\left(-\frac12\right)=25+5+1=31. $$
Упростим выражение:
$$\frac32-\frac{3n^2-6n+3}{2n^2+2n+2}:\frac{n-1}{n^3+n^2+n}.$$
Разложим на множители:
$$ 3n^2-6n+3=3(n-1)^2,\qquad 2n^2+2n+2=2(n^2+n+1), $$
$$ n^3+n^2+n=n(n^2+n+1). $$
Тогда
$$ \frac32-\frac{3(n-1)^2}{2(n^2+n+1)}:\frac{n-1}{n(n^2+n+1)} =\frac32-\frac{3(n-1)^2}{2(n^2+n+1)}\cdot\frac{n(n^2+n+1)}{n-1}. $$
Сокращаем:
$$ \frac32-\frac{3(n-1)n}{2} =\frac{3-3n(n-1)}{2} =\frac{3(1-n^2+n)}{2}. $$
При $$n=\frac13$$:
$$ \frac{3}{2}\left(1-\left(\frac13\right)^2+\frac13\right) =\frac{3}{2}\left(1-\frac19+\frac13\right) =\frac{3}{2}\cdot\frac{11}{9} =\frac{11}{6}. $$
Рассмотрим выражение:
$$\left(\frac{3}{a-b}-\frac{3a}{b^2-a^2}\right):\frac{6a+3b}{a^2+2ab+b^2}.$$
Так как $$b^2-a^2=(b-a)(b+a)=-(a-b)(a+b),$$ то
$$ \frac{3}{a-b}-\frac{3a}{b^2-a^2} =\frac{3}{a-b}+\frac{3a}{(a-b)(a+b)}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{3(a+b)+3a}{(a-b)(a+b)} =\frac{3(2a+b)}{(a-b)(a+b)}. $$
Кроме того,
$$ \frac{6a+3b}{a^2+2ab+b^2}=\frac{3(2a+b)}{(a+b)^2}. $$
Тогда
$$ \left(\frac{3(2a+b)}{(a-b)(a+b)}\right):\left(\frac{3(2a+b)}{(a+b)^2}\right) =\frac{a+b}{a-b}. $$
При $$a=3\frac14=\frac{13}{4},\ b=-0{,}75=-\frac34$$:
$$ \frac{a+b}{a-b} =\frac{\frac{13}{4}-\frac34}{\frac{13}{4}+\frac34} =\frac{\frac{10}{4}}{\frac{16}{4}} =\frac{5}{8}. $$
Упростим выражение:
$$\left(\frac{mn}{m^2-n^2}+\frac{n}{2n-2m}\right)\cdot\frac{m^2-n^2}{2n}.$$
Разложим знаменатели:
$$ m^2-n^2=(m-n)(m+n),\qquad 2n-2m=2(n-m)=-2(m-n). $$
Тогда
$$ \frac{mn}{(m-n)(m+n)}+\frac{n}{2(n-m)} =\frac{mn}{(m-n)(m+n)}-\frac{n}{2(m-n)}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{2mn-n(m+n)}{2(m-n)(m+n)} =\frac{mn-n^2}{2(m-n)(m+n)} =\frac{n(m-n)}{2(m-n)(m+n)} =\frac{n}{2(m+n)}. $$
Умножаем на $$\frac{m^2-n^2}{2n}$$:
$$ \frac{n}{2(m+n)}\cdot\frac{(m-n)(m+n)}{2n} =\frac{m-n}{4}. $$
При $$m=6\frac12=\frac{13}{2},\ n=-1{,}5=-\frac32$$:
$$ \frac{m-n}{4} =\frac{\frac{13}{2}-\left(-\frac32\right)}{4} =\frac{8}{4}=2. $$
Наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
- $$n\ge -3 \Rightarrow n_{\min}=-3$$
- $$n\ge 6 \Rightarrow n_{\min}=6$$
- $$n>6 \Rightarrow n_{\min}=7$$
- $$n>-4 \Rightarrow n_{\min}=-3$$
- $$n>-4{,}21 \Rightarrow n_{\min}=-4$$
- $$n\ge 3{,}24 \Rightarrow n_{\min}=4$$