Упр.759 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 1/x_1 +1/x_2 ;
2) x_1/x_2 +x_2/x_1 ;
3) x_1^4 x_2+x_2^4 x_1;
4) x_1^4+x_2^4.
Построить график функции:
1) y=x^2+6x+9;
2) y=x^2-7/2;
3) y=x^2-12x+4;
4) y=x^2+3x-1;
5) y=x^2+x;
6) y=x^2-x;
7) y=(x-2)(x+5);
8) y=(x+1/8)(x+4).

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$2x^2+7x-8=0$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{7}{2}, \qquad x_1x_2=-4.$$

1. $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-\frac{7}{2}}{-4}=\frac{7}{8}.$$

2. $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}.$$

   $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(-\frac{7}{2}\right)^2-2\cdot(-4)=\frac{49}{4}+8=\frac{81}{4}.$$

   Тогда

   $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{\frac{81}{4}}{-4}=-\frac{81}{16}.$$

3. $$x_1^4x_2+x_2^4x_1=x_1x_2(x_1^3+x_2^3).$$

   $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2).$$

   Тогда

   $$x_1^3+x_2^3=\left(-\frac{7}{2}\right)^3-3\cdot(-4)\cdot\left(-\frac{7}{2}\right)=-\frac{343}{8}-42=-\frac{679}{8}.$$

   Следовательно,

   $$x_1^4x_2+x_2^4x_1=(-4)\cdot\left(-\frac{679}{8}\right)=\frac{679}{2}.$$

4. $$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2.$$

   $$x_1^2+x_2^2=\frac{81}{4}, \qquad (x_1x_2)^2=16.$$

   Тогда

   $$x_1^4+x_2^4=\left(\frac{81}{4}\right)^2-2\cdot16=\frac{6561}{16}-32=\frac{6049}{16}.$$

Для построения графиков приведём функции к удобному виду.

1. $$y=x^2+6x+9=(x+3)^2.$$ Вершина $$(-3,0)$$, ветви направлены вверх.

2. $$y=x^2-\frac{7}{2}.$$ Вершина $$\left(0,-\frac{7}{2}\right)$$, ветви направлены вверх.

3. $$y=x^2-12x+4=(x-6)^2-32.$$ Вершина $$\left(6,-32\right)$$.

4. $$y=x^2+3x-1=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{13}{4}.$$ Вершина $$\left(-\frac{3}{2},-\frac{13}{4}\right)$$.

5. $$y=x^2+x=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}.$$ Вершина $$\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$$.

6. $$y=x^2-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}.$$ Вершина $$\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$$.

7. $$y=(x-2)(x+5)=x^2+3x-10=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{49}{4}.$$ Вершина $$\left(-\frac{3}{2},-\frac{49}{4}\right)$$, нули функции: $$x=2$$ и $$x=-5$$.

8. $$y=\left(x+\frac{1}{8}\right)(x+4)=x^2+\frac{33}{8}x+\frac{1}{2}=\left(x+\frac{33}{16}\right)^2-\frac{961}{256}.$$ Вершина $$\left(-\frac{33}{16},-\frac{961}{256}\right)$$, нули функции: $$x=-\frac{1}{8}$$ и $$x=-4$$.

Ответ

1) $$\frac{7}{8}$$; 2) $$-\frac{81}{16}$$; 3) $$\frac{679}{2}$$; 4) $$\frac{6049}{16}$$.