Упр.758 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) y=(x-4)^2+4;
2) y=(x+4)^2-4;
3) y=x^2+x;
4) y=x^2-x;
5) y=x^2-4x+3;
6) y=x^2+6x+8;
7) y=2x^2-3x-2;
8) y=3+5x+2x^2.
- Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-5x+3=0$$. По теореме Виета:
$$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=3.$$
Тогда
$$ x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2. $$
Найдём:
$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5^2-2\cdot 3=19, $$
$$ x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2=3^2=9. $$
Значит,
$$ x_1^4+x_2^4=19^2-2\cdot 9=361-18=343, $$
а
$$ x_1^4x_2^4=(x_1x_2)^4=3^4=81. $$
Следовательно, искомое квадратное уравнение:
$$x^2-343x+81=0.$$ - Для параболы вида $$y=a(x-h)^2+k$$ вершина имеет координаты $$ (h;k) $$, а пересечения с осями находим подстановкой $$x=0$$ и $$y=0$$.
- $$y=(x-4)^2+4$$
Вершина: $$ (4;4) $$.
При $$x=0$$: $$y=20$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$ (0;20) $$.
При $$y=0$$: $$x^2-8x+20=0$$, $$D=64-80=-16<0$$, пересечений с осью $$Ox$$ нет.
- $$y=(x+4)^2-4$$
Вершина: $$ (-4;-4) $$.
При $$x=0$$: $$y=12$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$ (0;12) $$.
При $$y=0$$: $$x^2+8x+12=0$$, откуда $$x=-6$$ и $$x=-2$$.
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$ (-6;0) $$ и $$ (-2;0) $$.
- $$y=x^2+x$$
Вершина: $$ x_0=-\frac{1}{2} $$, $$ y_0=\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4} $$, то есть $$ \left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right) $$.
При $$x=0$$: $$y=0$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$ (0;0) $$.
При $$y=0$$: $$x^2+x=0$$, $$x(x+1)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=-1$$.
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$ (0;0) $$ и $$ (-1;0) $$.
- $$y=x^2-x$$
Вершина: $$ x_0=\frac{1}{2} $$, $$ y_0=\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4} $$, то есть $$ \left(\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right) $$.
При $$x=0$$: $$y=0$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$ (0;0) $$.
При $$y=0$$: $$x^2-x=0$$, $$x(x-1)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=1$$.
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$ (0;0) $$ и $$ (1;0) $$.
- $$y=x^2-4x+3$$
Вершина: $$ x_0=2 $$, $$ y_0=2^2-4\cdot 2+3=-1 $$, то есть $$ (2;-1) $$.
При $$x=0$$: $$y=3$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$ (0;3) $$.
При $$y=0$$: $$x^2-4x+3=0$$, $$ (x-1)(x-3)=0 $$, откуда $$x=1$$ или $$x=3$$.
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$ (1;0) $$ и $$ (3;0) $$.
- $$y=x^2+6x+8$$
Вершина: $$ x_0=-3 $$, $$ y_0=(-3)^2+6\cdot(-3)+8=1 $$, то есть $$ (-3;1) $$.
При $$x=0$$: $$y=8$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$ (0;8) $$.
При $$y=0$$: $$x^2+6x+8=0$$, $$ (x+2)(x+4)=0 $$, откуда $$x=-2$$ или $$x=-4$$.
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$ (-4;0) $$ и $$ (-2;0) $$.
- $$y=2x^2-3x-2$$
Вершина: $$ x_0=\frac{3}{4} $$, $$ y_0=2\left(\frac{3}{4}\right)^2-3\cdot\frac{3}{4}-2=-\frac{25}{8} $$, то есть $$ \left(\frac{3}{4};-\frac{25}{8}\right) $$.
При $$x=0$$: $$y=-2$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$ (0;-2) $$.
При $$y=0$$: $$2x^2-3x-2=0$$, $$D=25$$,
$$ x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2},\quad x_2=\frac{3+5}{4}=2. $$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$ \left(-\frac{1}{2};0\right) $$ и $$ (2;0) $$.
- $$y=3+5x+2x^2=2x^2+5x+3$$
Вершина: $$ x_0=-\frac{5}{4} $$, $$ y_0=2\left(-\frac{5}{4}\right)^2+5\left(-\frac{5}{4}\right)+3=-\frac{1}{8} $$, то есть $$ \left(-\frac{5}{4};-\frac{1}{8}\right) $$.
При $$x=0$$: $$y=3$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$ (0;3) $$.
При $$y=0$$: $$2x^2+5x+3=0$$, $$D=1$$,
$$ x_1=\frac{-5-1}{4}=-\frac{3}{2},\quad x_2=\frac{-5+1}{4}=-1. $$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$ \left(-\frac{3}{2};0\right) $$ и $$ (-1;0) $$.
- $$y=(x-4)^2+4$$
Ответ
$$x^2-343x+81=0$$
1) вершина $$ (4;4) $$, пересечение с $$Oy$$: $$ (0;20) $$, с $$Ox$$ — нет;
2) вершина $$ (-4;-4) $$, пересечение с $$Oy$$: $$ (0;12) $$, с $$Ox$$: $$ (-6;0) $$, $$ (-2;0) $$;
3) вершина $$ \left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right) $$, пересечение с $$Oy$$: $$ (0;0) $$, с $$Ox$$: $$ (0;0) $$, $$ (-1;0) $$;
4) вершина $$ \left(\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right) $$, пересечение с $$Oy$$: $$ (0;0) $$, с $$Ox$$: $$ (0;0) $$, $$ (1;0) $$;
5) вершина $$ (2;-1) $$, пересечение с $$Oy$$: $$ (0;3) $$, с $$Ox$$: $$ (1;0) $$, $$ (3;0) $$;
6) вершина $$ (-3;1) $$, пересечение с $$Oy$$: $$ (0;8) $$, с $$Ox$$: $$ (-4;0) $$, $$ (-2;0) $$;
7) вершина $$ \left(\frac{3}{4};-\frac{25}{8}\right) $$, пересечение с $$Oy$$: $$ (0;-2) $$, с $$Ox$$: $$ \left(-\frac{1}{2};0\right) $$, $$ (2;0) $$;
8) вершина $$ \left(-\frac{5}{4};-\frac{1}{8}\right) $$, пересечение с $$Oy$$: $$ (0;3) $$, с $$Ox$$: $$ \left(-\frac{3}{2};0\right) $$, $$ (-1;0) $$.
