Упр.758 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-5x+3=0$$. Составить квадратное уравнение с корнями $$x_1^4$$ и $$x_2^4$$, не решая данное.
Найти координаты вершины параболы и точки пересечения параболы с осями координат:

1) $$y=(x-4)^2+4$$;

2) $$y=(x+4)^2-4$$;

3) $$y=x^2+x$$;

4) $$y=x^2-x$$;

5) $$y=x^2-4x+3$$;

6) $$y=x^2+6x+8$$;

7) $$y=2x^2-3x-2$$;

8) $$y=3+5x+2x^2$$.

Подробный ответ

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-5x+3=0$$. По теореме Виета:
$$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=3.$$
Тогда
$$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2.$$
Найдём:
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5^2-2\cdot 3=19,$$
$$x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2=3^2=9.$$
Значит,
$$x_1^4+x_2^4=19^2-2\cdot 9=361-18=343,$$
а
$$x_1^4x_2^4=(x_1x_2)^4=3^4=81.$$
Следовательно, искомое квадратное уравнение:
$$x^2-343x+81=0.$$
Для параболы вида $$y=a(x-h)^2+k$$ вершина имеет координаты $$(h;k)$$, а пересечения с осями находим подстановкой $$x=0$$ и $$y=0$$.
1. $$y=(x-4)^2+4$$
  Вершина: $$(4;4)$$.
  При $$x=0$$: $$y=20$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$(0;20)$$.
  При $$y=0$$: $$x^2-8x+20=0$$, $$D=64-80=-16<0$$, пересечений с осью $$Ox$$ нет.
2. $$y=(x+4)^2-4$$
  Вершина: $$(-4;-4)$$.
  При $$x=0$$: $$y=12$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$(0;12)$$.
  При $$y=0$$: $$x^2+8x+12=0$$, откуда $$x=-6$$ и $$x=-2$$.
  Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$(-6;0)$$ и $$(-2;0)$$.
3. $$y=x^2+x$$
  Вершина: $$x_0=-\frac{1}{2}$$, $$y_0=\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$$, то есть $$\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right)$$.
  При $$x=0$$: $$y=0$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$(0;0)$$.
  При $$y=0$$: $$x^2+x=0$$, $$x(x+1)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=-1$$.
  Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$(0;0)$$ и $$(-1;0)$$.
4. $$y=x^2-x$$
  Вершина: $$x_0=\frac{1}{2}$$, $$y_0=\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$$, то есть $$\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right)$$.
  При $$x=0$$: $$y=0$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$(0;0)$$.
  При $$y=0$$: $$x^2-x=0$$, $$x(x-1)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=1$$.
  Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$(0;0)$$ и $$(1;0)$$.
5. $$y=x^2-4x+3$$
  Вершина: $$x_0=2$$, $$y_0=2^2-4\cdot 2+3=-1$$, то есть $$(2;-1)$$.
  При $$x=0$$: $$y=3$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$(0;3)$$.
  При $$y=0$$: $$x^2-4x+3=0$$, $$(x-1)(x-3)=0$$, откуда $$x=1$$ или $$x=3$$.
  Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$(1;0)$$ и $$(3;0)$$.
6. $$y=x^2+6x+8$$
  Вершина: $$x_0=-3$$, $$y_0=(-3)^2+6\cdot(-3)+8=1$$, то есть $$(-3;1)$$.
  При $$x=0$$: $$y=8$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$(0;8)$$.
  При $$y=0$$: $$x^2+6x+8=0$$, $$(x+2)(x+4)=0$$, откуда $$x=-2$$ или $$x=-4$$.
  Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$(-4;0)$$ и $$(-2;0)$$.
7. $$y=2x^2-3x-2$$
  Вершина: $$x_0=\frac{3}{4}$$, $$y_0=2\left(\frac{3}{4}\right)^2-3\cdot\frac{3}{4}-2=-\frac{25}{8}$$, то есть $$\left(\frac{3}{4};-\frac{25}{8}\right)$$.
  При $$x=0$$: $$y=-2$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$(0;-2)$$.
  При $$y=0$$: $$2x^2-3x-2=0$$, $$D=25$$,
  $$x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2},\quad x_2=\frac{3+5}{4}=2.$$
  Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(-\frac{1}{2};0\right)$$ и $$(2;0)$$.
8. $$y=3+5x+2x^2=2x^2+5x+3$$
  Вершина: $$x_0=-\frac{5}{4}$$, $$y_0=2\left(-\frac{5}{4}\right)^2+5\left(-\frac{5}{4}\right)+3=-\frac{1}{8}$$, то есть $$\left(-\frac{5}{4};-\frac{1}{8}\right)$$.
  При $$x=0$$: $$y=3$$, значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$(0;3)$$.
  При $$y=0$$: $$2x^2+5x+3=0$$, $$D=1$$,
  $$x_1=\frac{-5-1}{4}=-\frac{3}{2},\quad x_2=\frac{-5+1}{4}=-1.$$
  Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(-\frac{3}{2};0\right)$$ и $$(-1;0)$$.