Упр.755 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) x^2-|x|-2=0;
2) x^2-4|x|+3=0;
3) |x^2-x|=2;
4) |x^2+x|=1;
5) |x^2-2|=2;
6) |x^2-26|=10.
Построить графики функций и найти координаты точек их пересечения:
1) y=2x и y=3;
2) y=x-1 и y=0;
3) y=3x и y=-2x+1;
4) y=2x-1 и y=-x+3.
$$x^2-|x|-2=0$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, и получаем:
$$x^2-x-2=0$$
$$ (x-2)(x+1)=0 $$
$$x=2$$ или $$x=-1$$. Подходит только $$x=2$$.
2) Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, и получаем:
$$x^2+x-2=0$$
$$ (x+2)(x-1)=0 $$
$$x=-2$$ или $$x=1$$. Подходит только $$x=-2$$.
Итак, $$x=-2,\;2$$.
$$x^2-4|x|+3=0$$
1) При $$x \ge 0$$ имеем $$|x|=x$$:
$$x^2-4x+3=0$$
$$ (x-1)(x-3)=0 $$
$$x=1,\;3$$.
2) При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$:
$$x^2+4x+3=0$$
$$ (x+1)(x+3)=0 $$
$$x=-1,\;-3$$.
Итак, $$x=-3,\,-1,\,1,\,3$$.
$$|x^2-x|=2$$
Решаем два уравнения:
$$x^2-x=2$$
$$x^2-x-2=0$$
$$ (x-2)(x+1)=0 $$
$$x=2,\;-1$$;
$$x^2-x=-2$$
$$x^2-x+2=0$$
$$D=1-8=-7<0$$, корней нет.
Итак, $$x=-1,\;2$$.
$$|x^2+x|=1$$
Решаем два уравнения:
$$x^2+x=1$$
$$x^2+x-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$;
$$x^2+x=-1$$
$$x^2+x+1=0$$
$$D=1-4=-3<0$$, корней нет.
Итак, $$x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$.
$$|x^2-2|=2$$
Решаем два уравнения:
$$x^2-2=2$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm2$$;
$$x^2-2=-2$$
$$x^2=0$$
$$x=0$$.
Итак, $$x=-2,\;0,\;2$$.
$$|x^2-26|=10$$
Решаем два уравнения:
$$x^2-26=10$$
$$x^2=36$$
$$x=\pm6$$;
$$x^2-26=-10$$
$$x^2=16$$
$$x=\pm4$$.
Итак, $$x=-6,\,-4,\,4,\,6$$.
1) $$y=2x$$ и $$y=3$$
Точка пересечения находится из уравнения $$2x=3$$, откуда $$x=\frac32$$, $$y=3$$.
Точка пересечения: $$\left(\frac32;3\right)$$.
2) $$y=x-1$$ и $$y=0$$
Из уравнения $$x-1=0$$ получаем $$x=1$$, тогда $$y=0$$.
Точка пересечения: $$\left(1;0\right)$$.
3) $$y=3x$$ и $$y=-2x+1$$
$$3x=-2x+1$$
$$5x=1$$
$$x=\frac15$$
$$y=3\cdot\frac15=\frac35$$
Точка пересечения: $$\left(\frac15;\frac35\right)$$.
4) $$y=2x-1$$ и $$y=-x+3$$
$$2x-1=-x+3$$
$$3x=4$$
$$x=\frac43$$
$$y=2\cdot\frac43-1=\frac53$$
Точка пересечения: $$\left(\frac43;\frac53\right)$$.
Ответ
1) $$x=-2,\;2$$; 2) $$x=-3,\,-1,\,1,\,3$$; 3) $$x=-1,\;2$$; 4) $$x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$; 5) $$x=-2,\;0,\;2$$; 6) $$x=-6,\,-4,\,4,\,6$$; 7) $$\left(\frac32;3\right)$$; 8) $$\left(1;0\right)$$; 9) $$\left(\frac15;\frac35\right)$$; 10) $$\left(\frac43;\frac53\right)$$.
