Упр.753 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (2a/(2a + b) — 4a^2/(4a^2 + 4ab + b^2)) : (2a/(4a^2 — b^2) + 1/(b — 2a));
2) (2q/(p + 2q) — 4q^2/(p^2 + 4pq + 4q^2)) : (2q/(p^2 — 4q^2) + 1/(2q — p));
3) (1/(1 — a) — 1) : (a + (1 — 2a^2)/(1 — a) + 1);
4) (p/(p^2 — 4) + 2/(2 — p) + 1/(p + 2)) : (p — 2 + (10 — p^2)/(p + 2)). Две бригады монтажников затратили на сборку агрегата 6 ч 40 мин. Сколько времени потребуется на сборку такого же агрегата каждой бригаде отдельно, если одной из них потребуется на эту работу на 3 ч больше, чем другой?

Подробный ответ

$$\left(\frac{2a}{2a+b}-\frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right):\left(\frac{2a}{4a^2-b^2}+\frac{1}{b-2a}\right)$$
$$4a^2+4ab+b^2=(2a+b)^2,\qquad 4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b),\qquad \frac{1}{b-2a}=-\frac{1}{2a-b}$$
$$\frac{2a}{2a+b}-\frac{4a^2}{(2a+b)^2}=\frac{2a(2a+b)-4a^2}{(2a+b)^2}=\frac{2ab}{(2a+b)^2}$$
$$\frac{2a}{(2a-b)(2a+b)}-\frac{1}{2a-b}=\frac{2a-(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)}=-\frac{b}{(2a-b)(2a+b)}$$
$$\frac{2ab}{(2a+b)^2}:\left(-\frac{b}{(2a-b)(2a+b)}\right)=\frac{2ab}{(2a+b)^2}\cdot\frac{(2a-b)(2a+b)}{-b}=\frac{2a(b-2a)}{2a+b}$$
$$\left(\frac{2q}{p+2q}-\frac{4q^2}{p^2+4pq+4q^2}\right):\left(\frac{2q}{p^2-4q^2}+\frac{1}{2q-p}\right)$$
$$p^2+4pq+4q^2=(p+2q)^2,\qquad p^2-4q^2=(p-2q)(p+2q),\qquad \frac{1}{2q-p}=-\frac{1}{p-2q}$$
$$\frac{2q}{p+2q}-\frac{4q^2}{(p+2q)^2}=\frac{2q(p+2q)-4q^2}{(p+2q)^2}=\frac{2pq}{(p+2q)^2}$$
$$\frac{2q}{(p-2q)(p+2q)}-\frac{1}{p-2q}=\frac{2q-(p+2q)}{(p-2q)(p+2q)}=-\frac{p}{(p-2q)(p+2q)}$$
$$\frac{2pq}{(p+2q)^2}:\left(-\frac{p}{(p-2q)(p+2q)}\right)=\frac{2q(2q-p)}{p+2q}$$
$$\left(\frac{1}{1-a}-1\right):\left(a+\frac{1-2a^2}{1-a}+1\right)$$
$$\frac{1}{1-a}-1=\frac{1-(1-a)}{1-a}=\frac{a}{1-a}$$
$$a+\frac{1-2a^2}{1-a}+1=\frac{a(1-a)+(1-2a^2)+(1-a)}{1-a}=\frac{-3a^2+2}{1-a}$$
$$\frac{a}{1-a}:\frac{-3a^2+2}{1-a}=\frac{a}{-3a^2+2}=\frac{a}{2-3a^2}$$
$$\left(\frac{p}{p^2-4}+\frac{2}{2-p}+\frac{1}{p+2}\right):\left(p-2+\frac{10-p^2}{p+2}\right)$$
$$p^2-4=(p-2)(p+2),\qquad \frac{2}{2-p}=-\frac{2}{p-2}$$
$$\frac{p}{(p-2)(p+2)}-\frac{2}{p-2}+\frac{1}{p+2}=\frac{p-2(p+2)+(p-2)}{(p-2)(p+2)}=\frac{-6}{(p-2)(p+2)}$$
$$p-2+\frac{10-p^2}{p+2}=\frac{(p-2)(p+2)+10-p^2}{p+2}=\frac{6}{p+2}$$
$$\frac{-6}{(p-2)(p+2)}:\frac{6}{p+2}=-\frac{1}{p-2}=\frac{1}{2-p}$$
Пусть первой бригаде требуется $$x$$ ч, тогда второй — $$x+3$$ ч. За 1 ч первая бригада выполняет $$\frac{1}{x}$$ работы, а вторая — $$\frac{1}{x+3}$$ работы. Вместе они выполняют работу за $$6\text{ ч }40\text{ мин}=6\frac{2}{3}\text{ ч}=\frac{20}{3}\text{ ч}$$, значит за 1 ч выполняют $$\frac{3}{20}$$ работы.
Составим уравнение:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{3}{20}$$
$$20(x+3)+20x=3x(x+3)$$
$$40x+60=3x^2+9x$$
$$3x^2-31x-60=0$$
$$D=31^2+4\cdot 3\cdot 60=1681,\qquad \sqrt{D}=41$$
$$x=\frac{31\pm 41}{6}$$
$$x_1=-\frac{10}{6}<0,\qquad x_2=\frac{72}{6}=12$$
Значит, первая бригада выполнит работу за $$12$$ ч, а вторая — за $$15$$ ч.