Упр.752 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) ((a + b)/(a — b) + (a — b)/(a + b)) : ((a^2 + b^2)/(a^2 — b^2) + (a^2 — b^2)/(a^2 + b^2));
2) ((a + 4b)/2b — 6b/(4b — a)) · (1 — (a^2 — 2ab + 4b^2)/(a^2 — 4b^2));
3) ((a^2 + b^2)/(a^2 — b^2))^2 — ((2ab/(a^2 — b^2))^2.
Двумя комбайнами можно убрать урожай с некоторого поля за 12 дней. Если бы уборку производили на каждом комбайне отдельно, то первому потребовалось бы на 10 дней больше, чем второму. За сколько дней на каждом из комбайнов отдельно можно выполнить эту работу?
$$\left(\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}\right):\left(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}+\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)$$
Приведём к общим знаменателям:
$$\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}:\frac{(a^2+b^2)^2+(a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}$$$$\frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2}:\frac{2a^4+2b^4}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}$$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$$\frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}\cdot\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{2(a^4+b^4)}$$$$\frac{(a^2+b^2)^2}{a^4+b^4}$$
$$\left(\frac{a+4b}{2b}-\frac{6b}{4b-a}\right)\cdot\left(1-\frac{a^2-2ab+4b^2}{a^2-4b^2}\right)$$
Так как $$4b-a=-(a-4b)$$, то
$$\frac{a+4b}{2b}-\frac{6b}{4b-a}=\frac{a+4b}{2b}+\frac{6b}{a-4b}$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(a+4b)(a-4b)+12b^2}{2b(a-4b)}=\frac{a^2-4b^2+12b^2}{2b(a-4b)}=\frac{a^2+8b^2}{2b(a-4b)}$$Вторую скобку упростим:
$$1-\frac{a^2-2ab+4b^2}{a^2-4b^2}=\frac{a^2-4b^2-a^2+2ab-4b^2}{a^2-4b^2}=\frac{2ab-8b^2}{a^2-4b^2}=\frac{2b(a-4b)}{a^2-4b^2}$$Тогда
$$\frac{a^2+8b^2}{2b(a-4b)}\cdot\frac{2b(a-4b)}{a^2-4b^2}=1$$$$\left(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\right)^2-\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}\right)^2$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(a^2+b^2)^2-(2ab)^2}{(a^2-b^2)^2}$$$$\frac{a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2}{(a^2-b^2)^2}=\frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{(a^2-b^2)^2}$$
$$\frac{(a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}=1$$
Пусть второй комбайн может выполнить работу за $$x$$ дней, тогда первый — за $$x+10$$ дней.
За 1 день они выполняют соответственно $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{x+10}$$ части работы, а вместе — $$\frac{1}{12}$$.
Составим уравнение:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+10}=\frac{1}{12}$$$$12(x+10)+12x=x(x+10)$$
$$24x+120=x^2+10x$$
$$x^2-14x-120=0$$
$$D=196+480=676,\quad \sqrt{D}=26$$
$$x=\frac{14\pm 26}{2}$$
$$x_1=-6 \text{ — не подходит},\quad x_2=20$$
Значит, второй комбайн выполнит работу за $$20$$ дней, а первый — за $$30$$ дней.
Ответ
1) $$\frac{(a^2+b^2)^2}{a^4+b^4}$$; 2) $$1$$; 3) $$1$$; 4) первый комбайн — $$30$$ дней, второй — $$20$$ дней.
