Упр.751 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (m^2 + 1/m^2 + 2) : (m + 1/m) — m^3/ (m^2 — 1);
2) ((x^2 + y^2)/x) : ((x^3 + y^4/x + 2xy^2)) — 1/(x^2 y^2).
Числитель некоторой обыкновенной дроби на 11 больше знаменателя. Если к числителю прибавить 5, а к знаменателю 12, то получится дробь, втрое меньше исходной. Найти эту дробь.

Подробный ответ

$$\left(m^2+\frac{1}{m^2}+2\right):\left(m+\frac{1}{m}\right)-\frac{m^3}{m^2-1}$$
$$m^2+\frac{1}{m^2}+2=\frac{m^4+2m^2+1}{m^2}=\frac{(m^2+1)^2}{m^2},$$
поэтому
$$\frac{(m^2+1)^2}{m^2}:\frac{m^2+1}{m}-\frac{m^3}{m^2-1}=\frac{(m^2+1)^2}{m^2}\cdot\frac{m}{m^2+1}-\frac{m^3}{m^2-1}=\frac{m^2+1}{m}-\frac{m^3}{m^2-1}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{m^2+1}{m}-\frac{m^3}{m^2-1}=\frac{(m^2+1)(m^2-1)-m^4}{m(m^2-1)}=\frac{m^4-1-m^4}{m(m^2-1)}=-\frac{1}{m(m^2-1)}=\frac{1}{m(1-m^2)}.$$
$$\frac{x^2+y^2}{x}:\left(x^3+\frac{y^4}{x}+2xy^2\right)-\frac{1}{x^2y^2}$$
$$x^3+\frac{y^4}{x}+2xy^2=\frac{x^4+y^4+2x^2y^2}{x}=\frac{(x^2+y^2)^2}{x},$$
значит
$$\frac{x^2+y^2}{x}:\frac{(x^2+y^2)^2}{x}-\frac{1}{x^2y^2}=\frac{x^2+y^2}{x}\cdot\frac{x}{(x^2+y^2)^2}-\frac{1}{x^2y^2}=\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{1}{x^2y^2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{1}{x^2y^2}=\frac{x^2y^2-(x^2+y^2)}{x^2y^2(x^2+y^2)}.$$
Пусть знаменатель дроби равен $$x,$$ тогда числитель равен $$x+11.$$
После изменения дробь станет равна
$$\frac{x+16}{x+12},$$
а исходная дробь в 3 раза больше новой, значит
$$\frac{x+16}{x+12}=\frac{x+11}{3x}.$$
Решим уравнение:
$$ 3x(x+16)=(x+11)(x+12) $$
$$ 3x^2+48x=x^2+23x+132 $$
$$ 2x^2+25x-132=0. $$
$$D=25^2-4\cdot 2\cdot(-132)=625+1056=1681,$$
$$\sqrt{D}=41.$$
$$x_1=\frac{-25-41}{4}=-\frac{66}{4}<0,$$ не подходит, а $$x_2=\frac{-25+41}{4}=\frac{16}{4}=4.$$
Тогда числитель:
$$4+11=15.$$
Искомая дробь:
$$\frac{15}{4}.$$