Упр.745 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Скорость моторной лодки по течению реки равна 23 км/ч, а против течения — 17 км/ч. Найти скорость течения и собственную скорость лодки.
2. Сократить дробь:
   1) $$\frac{a^4-4}{a+2}$$;
   2) $$\frac{a+2}{a^2-7a-18}$$;
   3) $$\frac{a^2+7a+12}{a^2+6a+8}$$;
   4) $$\frac{2a^2-5a-3}{4a^2-6a-4}$$;
   5) $$\frac{-2a^2+3a+2}{2a^2+5a+2}$$;
   6) $$\frac{-5a^2+13a+6}{5a^2-8a-4}$$.

Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч, а собственная скорость лодки — $$y$$ км/ч. Тогда:

$$\begin{cases} y+x=23,\\ y-x=17. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2y=40,\quad y=20.$$

Тогда

$$x=23-20=3.$$

Значит, скорость течения реки равна $$3$$ км/ч, а собственная скорость лодки — $$20$$ км/ч.

Сократим дроби:

1. $$\frac{a^4-4}{a+2}=\frac{(a^2-2)(a^2+2)}{a+2}$$

   Эта дробь не сокращается, так как числитель не содержит множителя $$a+2$$. Поэтому оставим её в виде

   $$\frac{a^4-4}{a+2},\quad a\ne -2.$$

2. $$\frac{a+2}{a^2-7a-18}=\frac{a+2}{(a-9)(a+2)}=\frac{1}{a-9},\quad a\ne -2,\; a\ne 9.$$

3. $$\frac{a^2+7a+12}{a^2+6a+8}=\frac{(a+3)(a+4)}{(a+2)(a+4)}=\frac{a+3}{a+2},\quad a\ne -4,\; a\ne -2.$$

4. $$\frac{2a^2-5a-3}{4a^2-6a-4}=\frac{(2a+1)(a-3)}{2(2a+1)(a-2)}=\frac{a-3}{2(a-2)},\quad a\ne -\frac12,\; a\ne 2.$$

5. $$\frac{-2a^2+3a+2}{2a^2+5a+2}=\frac{-(2a-1)(a+2)}{(2a+1)(a+2)}=\frac{1-2a}{2a+1},\quad a\ne -2,\; a\ne -\frac12.$$

6. $$\frac{-5a^2+13a+6}{5a^2-8a-4}=\frac{-(5a+2)(a-3)}{(5a+2)(a-2)}=\frac{3-a}{a-2},\quad a\ne -\frac25,\; a\ne 2.$$

Ответ

Скорость течения реки — $$3$$ км/ч, собственная скорость лодки — $$20$$ км/ч.

1) $$\frac{a^4-4}{a+2}$$, $$a\ne -2$$; 2) $$\frac{1}{a-9}$$, $$a\ne -2,\,9$$; 3) $$\frac{a+3}{a+2}$$, $$a\ne -4,\,-2$$; 4) $$\frac{a-3}{2(a-2)}$$, $$a\ne -\frac12,\,2$$; 5) $$\frac{1-2a}{2a+1}$$, $$a\ne -2,\,-\frac12$$; 6) $$\frac{3-a}{a-2}$$, $$a\ne -\frac25,\,2$$.