Упр.743 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) x/(x-3)+3/(x^2-5x+6)=3/(2-x);
2) 3/(x-3)+3/(x^2-7x+12)=(1-x)/(x-4);
3) 3+5/(x-1)=2/(x+2);
4) 5+2/(x-2)=17/(x+3).

Подробный ответ

Пусть скорость группы лыжников равна $$x$$ км/ч, тогда скорость опоздавшего лыжника равна $$x+5$$ км/ч.

За 20 мин группа шла $$\frac{20}{60}=\frac13$$ ч, а опоздавший лыжник шёл 40 мин, то есть $$\frac{40}{60}=\frac23$$ ч.

К моменту встречи группа прошла путь $$x\cdot \frac13=\frac{x}{3}$$ км, а опоздавший лыжник — $$\frac23(x+5)$$ км. Так как он догнал группу, пути равны:

$$\frac{x}{3}=\frac23(x+5)$$

Умножим на 3:

$$x=2(x+5)$$

$$x=2x+10$$

$$x=-10$$

Полученное значение не подходит, так как скорость не может быть отрицательной. Значит, в условии имеется в виду, что опоздавший лыжник шёл быстрее группы на 5 км/ч, а время движения до встречи для группы и опоздавшего лыжника нужно сравнивать по расстоянию, пройденному до момента встречи:

пусть скорость группы $$x$$ км/ч, тогда скорость опоздавшего $$x+5$$ км/ч. За время до встречи группа шла $$\frac13+\frac23=\!1$$ ч? Нет, группа шла на $$20$$ мин дольше, значит до встречи она шла $$20+40=60$$ мин, то есть $$1$$ ч, а опоздавший — $$\frac23$$ ч.

Тогда:

$$x\cdot 1=\frac23(x+5)$$

$$3x=2x+10$$

$$x=10$$

Следовательно, скорость опоздавшего лыжника:

$$x+5=15$$ км/ч.

Ход решения

$$\frac{x}{x-3}+\frac{3}{x^2-5x+6}=\frac{3}{2-x}$$
ОДЗ: $$x\ne 2,\; x\ne 3$$.
Так как $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$ и $$\frac{3}{2-x}=-\frac{3}{x-2}$$, получаем:
$$\frac{x}{x-3}+\frac{3}{(x-2)(x-3)}=-\frac{3}{x-2}$$
Умножим на $$ (x-2)(x-3) $$:
$$x(x-2)+3=-3(x-3)$$
$$x^2-2x+3=-3x+9$$
$$x^2+x-6=0$$
$$ (x+3)(x-2)=0 $$
$$x=-3 \text{ или } x=2$$
$$x=2$$ не подходит по ОДЗ. Значит, $$x=-3$$.
$$\frac{3}{x-3}+\frac{3}{x^2-7x+12}=\frac{1-x}{x-4}$$
ОДЗ: $$x\ne 3,\; x\ne 4$$.
Так как $$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$$, имеем:
$$\frac{3}{x-3}+\frac{3}{(x-3)(x-4)}=\frac{1-x}{x-4}$$
Умножим на $$ (x-3)(x-4) $$:
$$3(x-4)+3=(1-x)(x-3)$$
$$3x-12+3=x-3-x^2+3x$$
$$x^2-x-6=0$$
$$ (x-3)(x+2)=0 $$
$$x=3 \text{ или } x=-2$$
$$x=3$$ не подходит по ОДЗ. Значит, $$x=-2$$.
$$3+\frac{5}{x-1}=\frac{2}{x+2}$$
ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne -2$$.
Умножим на $$ (x-1)(x+2) $$:
$$3(x-1)(x+2)+5(x+2)=2(x-1)$$
$$3(x^2+x-2)+5x+10=2x-2$$
$$3x^2+3x-6+5x+10=2x-2$$
$$3x^2+6x+6=0$$
$$x^2+2x+2=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 2=-4<0$$
Корней нет.
$$5+\frac{2}{x-2}=\frac{17}{x+3}$$
ОДЗ: $$x\ne 2,\; x\ne -3$$.
Умножим на $$ (x-2)(x+3) $$:
$$5(x-2)(x+3)+2(x+3)=17(x-2)$$
$$5(x^2+x-6)+2x+6=17x-34$$
$$5x^2+5x-30+2x+6=17x-34$$
$$5x^2-10x+10=0$$
$$x^2-2x+2=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2=-4<0$$
Корней нет.