Упр.740 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 3x^2+8x+5=0;
2) 5x^2+4x-12=0;
3) 6/(4x^2-1)-x/(2x-1)=5/(2x+1);
4) 5/(x-1)+(3x-3)/(2x+2)=(2x^2+8)/(x^2-1);
5) 30/(x^2-1)-13/(x^2+x+1)=(7+18x)/(x^3-1);
6) 2/(x^2-x+1)=1/(x+1)+(2x-1)/(x^3+1).
Решить уравнение:
1) 4x^4-17x^2+4=0;
2) 4x^4-37x^2+9=0;
3) x^4-7x^2+12=0;
4) x^4-11x^2+18=0.

Подробный ответ

$$3x^2+8x+5=0$$
$$D=8^2-4\cdot 3\cdot 5=64-60=4$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 2}{2\cdot 3}$$
$$x_1=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}, \qquad x_2=\frac{-6}{6}=-1$$
$$5x^2+4x-12=0$$
$$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-12)=16+240=256$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 16}{2\cdot 5}$$
$$x_1=\frac{-20}{10}=-2, \qquad x_2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$$
$$\frac{6}{4x^2-1}-\frac{x}{2x-1}=\frac{5}{2x+1}$$
ОДЗ: $$x\ne \pm \frac12$$.
Умножим на $$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$$:
$$6-x(2x+1)-5(2x-1)=0$$
$$6-2x^2-x-10x+5=0$$
$$2x^2+11x-11=0$$
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot(-11)=121+88=209$$
$$x_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{209}}{4}$$
$$\frac{5}{x-1}+\frac{3x-3}{2x+2}=\frac{2x^2+8}{x^2-1}$$
ОДЗ: $$x\ne \pm 1$$.
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{5}{x-1}+\frac{3(x-1)}{2(x+1)}=\frac{2x^2+8}{(x-1)(x+1)}$$
После преобразований получаем:
$$-x^2+4x-3=0$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$D=16-12=4$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$
$$x_1=1,\qquad x_2=3$$
Так как $$x=1$$ не входит в ОДЗ, остаётся $$x=3$$.
$$\frac{30}{x^2-1}-\frac{13}{x^2+x+1}=\frac{7+18x}{x^3-1}$$
ОДЗ: $$x\ne \pm 1$$.
Так как $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$, после приведения к общему знаменателю получаем:
$$-x^2+5x+36=0$$
$$x^2-5x-36=0$$
$$D=25+144=169$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 13}{2}$$
$$x_1=-4,\qquad x_2=9$$
$$\frac{2}{x^2-x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x-1}{x^3+1}$$
ОДЗ: $$x\ne -1$$.
Так как $$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$$, умножим уравнение на $$x^3+1$$:
$$2(x+1)-(x^2-x+1)-(2x-1)=0$$
$$-x^2+x+2=0$$
$$x^2-x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$
$$x_1=-1,\qquad x_2=2$$
С учётом ОДЗ: $$x=2$$.

Ход решения

$$4x^4-17x^2+4=0$$
Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда
$$4y^2-17y+4=0$$
$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$$
$$y_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}$$
$$y_1=\frac14,\qquad y_2=4$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm \frac12$$
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$4x^4-37x^2+9=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$4y^2-37y+9=0$$
$$D=37^2-4\cdot 4\cdot 9=1369-144=1225$$
$$y_{1,2}=\frac{37\pm 35}{8}$$
$$y_1=\frac14,\qquad y_2=9$$
Следовательно,
$$x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm \frac12$$
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
$$x^4-7x^2+12=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-7y+12=0$$
$$y_1=4,\qquad y_2=3$$
Значит,
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$x^2=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$$
$$x^4-11x^2+18=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-11y+18=0$$
$$y_1=9,\qquad y_2=2$$
Следовательно,
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$