Упр.74 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a^2+2a+1)/(b^2-4) · (b+2)/(a+1) — a/(b+2);
2) (a^2-2a+1)/(b-2) : (a^2-1)/(b^2-4) — (2a-b)/(a+1);
3) (m-1)/(m+1) — m(1-m^2 )/n · n/(m+1)^2 ;
4) (2n+4)/(2-n) — (mn+n^2)/(4-4n+n^2 ) : (m+n)/(4-n^2 ).
Пусть a и b — положительные числа и n — натуральное число. Доказать, что если a^n>b^n, то a>b.

1. $$\frac{a^2+2a+1}{b^2-4}\cdot\frac{b+2}{a+1}-\frac{a}{b+2}$$

   Разложим на множители:
   $$a^2+2a+1=(a+1)^2,\quad b^2-4=(b-2)(b+2).$$

   Тогда
   $$ \frac{(a+1)^2}{(b-2)(b+2)}\cdot\frac{b+2}{a+1}-\frac{a}{b+2} = \frac{a+1}{b-2}-\frac{a}{b+2}. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{(a+1)(b+2)-a(b-2)}{(b-2)(b+2)} = \frac{ab+2a+b+2-ab+2a}{b^2-4} = \frac{4a+b+2}{b^2-4}. $$

2. $$\frac{a^2-2a+1}{b-2}:\frac{a^2-1}{b^2-4}-\frac{2a-b}{a+1}$$

   Разложим на множители:
   $$a^2-2a+1=(a-1)^2,\quad a^2-1=(a-1)(a+1),\quad b^2-4=(b-2)(b+2).$$

   Тогда
   $$ \frac{(a-1)^2}{b-2}:\frac{(a-1)(a+1)}{(b-2)(b+2)}-\frac{2a-b}{a+1} = \frac{(a-1)^2}{b-2}\cdot\frac{(b-2)(b+2)}{(a-1)(a+1)}-\frac{2a-b}{a+1}. $$

   Получаем
   $$ \frac{(a-1)(b+2)}{a+1}-\frac{2a-b}{a+1} = \frac{(a-1)(b+2)-(2a-b)}{a+1}. $$

   Упростим числитель:
   $$ (a-1)(b+2)-(2a-b)=ab+2a-b-2-2a+b=ab-2. $$

   Значит,
   $$\frac{ab-2}{a+1}.$$

3. $$\frac{m-1}{m+1}-\frac{m(1-m^2)}{n}\cdot\frac{n}{(m+1)^2}$$

   Так как
   $$1-m^2=(1-m)(1+m),$$
   то
   $$ \frac{m-1}{m+1}-\frac{m(1-m)(1+m)}{n}\cdot\frac{n}{(m+1)^2} = \frac{m-1}{m+1}-\frac{m(1-m)}{m+1}. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{m-1-m(1-m)}{m+1} = \frac{m-1-m+m^2}{m+1} = \frac{m^2-1}{m+1}. $$

   Разложим числитель:
   $$ \frac{(m-1)(m+1)}{m+1}=m-1. $$

4. $$\frac{2n+4}{2-n}-\frac{mn+n^2}{4-4n+n^2}:\frac{m+n}{4-n^2}$$

   Разложим выражения:
   $$2n+4=2(n+2),\quad 4-4n+n^2=(2-n)^2,\quad 4-n^2=(2-n)(2+n),\quad mn+n^2=n(m+n).$$

   Тогда
   $$ \frac{2(n+2)}{2-n}-\frac{n(m+n)}{(2-n)^2}:\frac{m+n}{(2-n)(2+n)}. $$

   Выполним деление:
   $$ \frac{n(m+n)}{(2-n)^2}\cdot\frac{(2-n)(2+n)}{m+n} = \frac{n(2+n)}{2-n}. $$

   Получаем
   $$ \frac{2(n+2)}{2-n}-\frac{n(n+2)}{2-n} = \frac{(n+2)(2-n)}{2-n} = n+2. $$

Ответ

1) $$\frac{4a+b+2}{b^2-4}$$

2) $$\frac{ab-2}{a+1}$$

3) $$m-1$$

4) $$n+2$$

Если $$a$$ и $$b$$ — положительные числа и $$n\in\mathbb{N}$$, то из $$a^n>b^n$$ следует $$a>b$$, так как для положительных чисел возведение в натуральную степень сохраняет знак неравенства.