Упр.739 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$k$$ число $$-2$$ является корнем уравнения $$(k-2)x^2-7x-2k^2=0$$?
Записать квадратное уравнение, корни которого отличались бы от корней данного уравнения только знаками:

1) $$x^2-8x+15=0$$;

2) $$x^2+bx+c=0$$.

Подробный ответ

1) Подставим $$x=-2$$ в уравнение $$(k-2)x^2-7x-2k^2=0$$:

$$(k-2)\cdot(-2)^2-7\cdot(-2)-2k^2=0$$
$$4(k-2)+14-2k^2=0$$
$$4k-8+14-2k^2=0$$
$$-2k^2+4k+6=0$$
$$k^2-2k-3=0$$
$$(k-3)(k+1)=0$$
$$k=3 \text{ или } k=-1.$$

2) Пусть корни данного уравнения равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда для уравнения $$x^2-8x+15=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=8,\qquad x_1x_2=15.$$

Если новые корни равны $$-x_1$$ и $$-x_2$$, то их сумма и произведение:

$$(-x_1)+(-x_2)=-(x_1+x_2)=-8,$$
$$(-x_1)(-x_2)=x_1x_2=15.$$

Значит, искомое уравнение:

$$x^2+8x+15=0.$$

3) Для уравнения $$x^2+bx+c=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c.$$

Тогда для корней $$-x_1$$ и $$-x_2$$ получаем:

$$(-x_1)+(-x_2)=-(x_1+x_2)=b,$$
$$(-x_1)(-x_2)=x_1x_2=c.$$

Следовательно, новое уравнение имеет вид:

$$x^2-bx+c=0.$$