Упр.73 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a^2+ab)/(a^2+b^2 ) · (a/(a-b) — a/(a+b));
2) (ab-b^2)/(a^2+b^2 ) · (a/(a+b) + b/(a-b));
3) ((c+d)/c — 2c/(c-d)) · (d-c)/(c^2+d^2 );
4) (2c/(c+d) + (d-c)/c) · (c+d)/(c^2+d^2 ).
Пусть a>b и числа a, b отрицательные. Доказать, что:
1) a^n>b^n, если n-нечетное натуральное число;
2) a^n

1. $$\frac{a^2+ab}{a^2+b^2}\cdot\left(\frac{a}{a-b}-\frac{a}{a+b}\right)$$

   $$\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}\cdot \frac{a(a+b)-a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$$

   $$=\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}\cdot \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}$$

   $$=\frac{2a^2b}{(a^2+b^2)(a-b)}$$

2. $$\frac{ab-b^2}{a^2+b^2}\cdot\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}\right)$$

   $$\frac{b(a-b)}{a^2+b^2}\cdot \frac{a(a-b)+b(a+b)}{(a-b)(a+b)}$$

   $$=\frac{b(a-b)}{a^2+b^2}\cdot \frac{a^2+b^2}{a+b}$$

   $$=\frac{b}{a+b}$$

3. $$\left(\frac{c+d}{c}-\frac{2c}{c-d}\right)\cdot\frac{d-c}{c^2+d^2}$$

   $$\frac{(c+d)(c-d)-2c^2}{c(c-d)}\cdot\frac{d-c}{c^2+d^2}$$

   $$=\frac{c^2-d^2-2c^2}{c(c-d)}\cdot\frac{d-c}{c^2+d^2}$$

   $$=\frac{-(c^2+d^2)}{c(c-d)}\cdot\frac{d-c}{c^2+d^2}$$

   $$=\frac{1}{c}$$

4. $$\left(\frac{2c}{c+d}+\frac{d-c}{c}\right)\cdot\frac{c+d}{c^2+d^2}$$

   $$\frac{2c^2+(d-c)(c+d)}{c(c+d)}\cdot\frac{c+d}{c^2+d^2}$$

   $$=\frac{2c^2+d^2-c^2}{c(c^2+d^2)}$$

   $$=\frac{1}{c}$$

Пусть $$a>b$$, причём $$a<0$$ и $$b<0$$.

1. Докажем, что $$a^n>b^n$$, если $$n$$ — нечётное натуральное число.

   Так как $$a<0$$ и $$b<0$$, то $$-a>0$$, $$-b>0$$. Пусть $$n=2k+1$$.
   Тогда из $$a>b$$ получаем $$-a<-b$$, а при нечётной степени знак неравенства сохраняется:

   $$(-a)^{2k+1}<(-b)^{2k+1}$$

   Следовательно,
   $$a^{2k+1}>b^{2k+1}$$,
   то есть
   $$a^n>b^n$$.

2. Докажем, что $$a^n<b^n$$, если $$n$$ — чётное натуральное число.

   Пусть $$n=2k$$. Тогда

   $$(-a)^{2k}<(-b)^{2k}$$

   но
   $$(-a)^{2k}=a^{2k}, \quad (-b)^{2k}=b^{2k}.$$
   Значит,

   $$a^{2k}<b^{2k},$$
   то есть
   $$a^n<b^n.$$

Ответ

1) $$\frac{2a^2b}{(a^2+b^2)(a-b)}$$; 2) $$\frac{b}{a+b}$$; 3) $$\frac{1}{c}$$; 4) $$\frac{1}{c}$$.
При $$a>b$$, $$a<0$$, $$b<0$$: $$a^n>b^n$$ при нечётном $$n$$ и $$a^n<b^n$$ при чётном $$n$$.