Упр.72 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (6/(a-b) — 5/(a+b)) · (a-b)/(a+11b);
2) (3/c + 3/(c+d)) · c/18(2c+d) ;
3) (y-1)/y : ((y^2+1)/(y^2+2y) — 2/(y+2));
4) (m-2)/(m-5) : ((m^2+24)/(m^2-25) — 4/(m-5)).
Пусть a < 1 и a - положительное число. Доказать, что: 1) a^3 < a; 2) a^5 < a^2.

Подробный ответ

$$\left(\frac{6}{a-b}-\frac{5}{a+b}\right)\cdot \frac{a-b}{a+11b}$$
Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{6(a+b)-5(a-b)}{(a-b)(a+b)}\cdot \frac{a-b}{a+11b}$$
$$\frac{6a+6b-5a+5b}{(a-b)(a+b)}\cdot \frac{a-b}{a+11b} =\frac{a+11b}{(a-b)(a+b)}\cdot \frac{a-b}{a+11b} =\frac{1}{a+b}$$
$$\left(\frac{3}{c}+\frac{3}{c+d}\right)\cdot \frac{c}{18(2c+d)}$$
Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{3(c+d)+3c}{c(c+d)}\cdot \frac{c}{18(2c+d)}$$
$$\frac{6c+3d}{c(c+d)}\cdot \frac{c}{18(2c+d)} =\frac{3(2c+d)}{(c+d)\cdot 18(2c+d)} =\frac{1}{6(c+d)}$$
$$\frac{y-1}{y}:\left(\frac{y^2+1}{y^2+2y}-\frac{2}{y+2}\right)$$
Так как $$y^2+2y=y(y+2),$$ то
$$\frac{y-1}{y}:\left(\frac{y^2+1}{y(y+2)}-\frac{2}{y+2}\right)$$
$$\frac{y-1}{y}:\left(\frac{y^2+1-2y}{y(y+2)}\right) =\frac{y-1}{y}:\left(\frac{(y-1)^2}{y(y+2)}\right)$$
$$\frac{y-1}{y}\cdot \frac{y(y+2)}{(y-1)^2} =\frac{y+2}{y-1}$$
$$\frac{m-2}{m-5}:\left(\frac{m^2+24}{m^2-25}-\frac{4}{m-5}\right)$$
Так как $$m^2-25=(m-5)(m+5),$$ то
$$\frac{m-2}{m-5}:\left(\frac{m^2+24}{m^2-25}-\frac{4(m+5)}{m^2-25}\right)$$
$$\frac{m-2}{m-5}:\frac{m^2+24-4m-20}{m^2-25} =\frac{m-2}{m-5}:\frac{m^2-4m+4}{m^2-25}$$
$$\frac{m-2}{m-5}:\frac{(m-2)^2}{(m-5)(m+5)} =\frac{m-2}{m-5}\cdot \frac{(m-5)(m+5)}{(m-2)^2} =\frac{m+5}{m-2}$$

Теперь докажем неравенства.

$$a^3<a$$
$$a^3-a<0$$
$$a(a^2-1)<0$$
$$a(a-1)(a+1)<0$$
Так как $$a<1$$ и $$a$$ — положительное число, то $$a>0,$$ $$a-1<0,$$ $$a+1>0.$$
Следовательно, $$a(a-1)(a+1)<0,$$ значит, $$a^3<a.$$
$$a^5<a^2$$
$$a^5-a^2<0$$
$$a^2(a^3-1)<0$$
$$a^2(a-1)(a^2+a+1)<0$$
Так как $$a^2>0,$$ $$a-1<0,$$ $$a^2+a+1>0,$$ то $$a^5<a^2.$$