Упр.71 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (1-(a-b)/(a+b)):(2+2b/(a-b));
2) (1+(a+b)/(a-b))(2-2a/(a+b)).
Пусть a>1. Доказать, что: 1) a^3>a; 2) a^5>a^2.

1. $$\left(1-\frac{a-b}{a+b}\right):\left(2+\frac{2b}{a-b}\right)$$

   $$1-\frac{a-b}{a+b}=\frac{a+b-(a-b)}{a+b}=\frac{2b}{a+b}$$

   $$2+\frac{2b}{a-b}=\frac{2(a-b)+2b}{a-b}=\frac{2a}{a-b}$$

   Тогда
   $$\left(\frac{2b}{a+b}\right):\left(\frac{2a}{a-b}\right)=\frac{2b}{a+b}\cdot\frac{a-b}{2a}=\frac{b(a-b)}{a(a+b)}.$$

2. $$\left(1+\frac{a+b}{a-b}\right)\left(2-\frac{2a}{a+b}\right)$$

   $$1+\frac{a+b}{a-b}=\frac{a-b+a+b}{a-b}=\frac{2a}{a-b}$$

   $$2-\frac{2a}{a+b}=\frac{2(a+b)-2a}{a+b}=\frac{2b}{a+b}$$

   Тогда
   $$\left(\frac{2a}{a-b}\right)\left(\frac{2b}{a+b}\right)=\frac{4ab}{a^2-b^2}.$$

3. Пусть $$a>1$$. Докажем, что $$a^3>a$$.

   $$a^3-a>0$$
   $$a(a^2-1)>0$$
   $$a(a-1)(a+1)>0.$$

   Так как $$a>1$$, то $$a>0$$, $$a-1>0$$ и $$a+1>0$$. Значит, $$a^3>a$$.

4. Докажем, что $$a^5>a^2$$.

   $$a^5-a^2>0$$
   $$a^2(a^3-1)>0$$
   $$a^2(a-1)(a^2+a+1)>0.$$

   Так как $$a>1$$, то $$a^2>0$$, $$a-1>0$$ и $$a^2+a+1>0$$. Следовательно, $$a^5>a^2$$.

Ответ

1) $$\frac{b(a-b)}{a(a+b)}$$; 2) $$\frac{4ab}{a^2-b^2}$$; 3) $$a^3>a$$; 4) $$a^5>a^2$$.