Упр.703 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что если x>0,5 и y>4, то:
1) 4x+3y>14;
2) 2xy-3>1;
3) x^2 y>1;
4) x^3+y^2>16.

1) Найдём коэффициенты p и q трёхчлена $$x^2+px+q$$.

При $$x=0$$ получаем:

$$0^2+p\cdot 0+q=-14,$$

откуда $$q=-14.$$

При $$x=-2$$ и $$q=-14$$:

$$(-2)^2+p(-2)+(-14)=-20,$$

$$4-2p-14=-20,$$

$$-2p-10=-20,$$

$$-2p=-10,$$

$$p=5.$$

Значит, $$p=5,\ q=-14.$$

2) Докажем утверждения при $$x>0{,}5$$ и $$y>4.$$

1) $$4x+3y>14.$$

Так как $$x>0{,}5,$$ то $$4x>2.$$

Так как $$y>4,$$ то $$3y>12.$$

Складывая, получаем:

$$4x+3y>2+12=14.$$

2) $$2xy-3>1.$$

Из $$x>0{,}5$$ и $$y>4$$ следует:

$$xy>0{,}5\cdot 4=2,$$

значит,

$$2xy>4,$$

откуда

$$2xy-3>1.$$

3) $$x^2y>1.$$

Так как $$x>0{,}5,$$ то

$$x^2>0{,}5^2=0{,}25.$$

А так как $$y>4,$$ то

$$x^2y>0{,}25\cdot 4=1.$$

4) $$x^3+y^2>16.$$

Из $$x>0{,}5$$ следует:

$$x^3>0{,}5^3=0{,}125.$$

Из $$y>4$$ следует:

$$y^2>4^2=16.$$

Тогда

$$x^3+y^2>0{,}125+16=16{,}125,$$

значит, $$x^3+y^2>16.$$

Ответ

$$p=5,\ q=-14.$$ Все утверждения 1)–4) верны.