Упр.700 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2024 года. Решить уравнение:
   1) $$x^4+x^2-2=0$$;
   2) $$x^4-x^2-12=0$$;
   3) $$x^4+3x^2+2=0$$;
   4) $$x^4+5x^2+6=0$$.
2. Задание учебника 2013 года. Найти четыре последовательных целых числа, такие, что куб второго из них больше произведения трех остальных.

1. $$x^4+x^2-2=0$$

   Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда получаем

   $$y^2+y-2=0$$

   $$(y+2)(y-1)=0$$

   Отсюда $$y=-2$$ или $$y=1$$.

   Так как $$x^2\ge 0$$, значение $$y=-2$$ не подходит. При $$y=1$$ имеем

   $$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

2. $$x^4-x^2-12=0$$

   Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда

   $$y^2-y-12=0$$

   $$(y-4)(y+3)=0$$

   Отсюда $$y=4$$ или $$y=-3$$.

   Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$x^2\ge 0$$. При $$y=4$$ получаем

   $$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$

3. $$x^4+3x^2+2=0$$

   Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда

   $$y^2+3y+2=0$$

   $$(y+1)(y+2)=0$$

   Отсюда $$y=-1$$ или $$y=-2$$.

   Оба значения не подходят, так как $$x^2\ge 0$$. Следовательно, корней нет.

4. $$x^4+5x^2+6=0$$

   Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда

   $$y^2+5y+6=0$$

   $$(y+2)(y+3)=0$$

   Отсюда $$y=-2$$ или $$y=-3$$.

   Оба значения не подходят, так как $$x^2\ge 0$$. Следовательно, корней нет.

5. Пусть четыре последовательных целых числа: $$n-1,\ n,\ n+1,\ n+2.$$

   По условию куб второго числа больше произведения трёх остальных:

   $$n^3>(n-1)(n+1)(n+2).$$

   Преобразуем:

   $$n^3>(n^2-1)(n+2)$$

   $$n^3>n^3+2n^2-n-2$$

   $$2n^2-n-2<0$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$2n^2-n-2=0,\qquad D=1+16=17$$

   $$n_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{4}$$

   Тогда

   $$\frac{1-\sqrt{17}}{4}<n<\frac{1+\sqrt{17}}{4}$$

   Так как $$n$$ — целое число, получаем $$n=0$$ или $$n=1$$.

   Если $$n=0$$, то числа: $$-1,\ 0,\ 1,\ 2.$$

   Если $$n=1$$, то числа: $$0,\ 1,\ 2,\ 3.$$

Ответ

1) $$x=\pm 1$$; 2) $$x=\pm 2$$; 3) корней нет; 4) корней нет; 5) $$-1,\ 0,\ 1,\ 2$$ или $$0,\ 1,\ 2,\ 3$$.