Упр.700 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) x^4+x^2-2=0;
2) x^4-x^2-12=0;
3) x^4+3x^2+2=0;
4) x^4+5x^2+6=0.
Найти четыре последовательных целых числа, такие, что куб второго из них больше произведения трех остальных.

Подробный ответ

$$x^4+x^2-2=0$$
Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда получаем
$$y^2+y-2=0$$
$$ (y+2)(y-1)=0 $$
Отсюда $$y=-2$$ или $$y=1$$.
Так как $$x^2\ge 0$$, значение $$y=-2$$ не подходит. При $$y=1$$ имеем
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$
$$x^4-x^2-12=0$$
Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-y-12=0$$
$$ (y-4)(y+3)=0 $$
Отсюда $$y=4$$ или $$y=-3$$.
Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$x^2\ge 0$$. При $$y=4$$ получаем
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$
$$x^4+3x^2+2=0$$
Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2+3y+2=0$$
$$ (y+1)(y+2)=0 $$
Отсюда $$y=-1$$ или $$y=-2$$.
Оба значения не подходят, так как $$x^2\ge 0$$. Следовательно, корней нет.
$$x^4+5x^2+6=0$$
Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2+5y+6=0$$
$$ (y+2)(y+3)=0 $$
Отсюда $$y=-2$$ или $$y=-3$$.
Оба значения не подходят, так как $$x^2\ge 0$$. Следовательно, корней нет.
Пусть четыре последовательных целых числа: $$n-1,\ n,\ n+1,\ n+2.$$
По условию куб второго числа больше произведения трёх остальных:
$$n^3>(n-1)(n+1)(n+2).$$
Преобразуем:
$$ n^3>(n^2-1)(n+2) $$
$$ n^3>n^3+2n^2-n-2 $$
$$ 2n^2-n-2<0 $$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ 2n^2-n-2=0,\qquad D=1+16=17 $$
$$ n_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{4} $$
Тогда
$$ \frac{1-\sqrt{17}}{4}<n<\frac{1+\sqrt{17}}{4} $$
Так как $$n$$ — целое число, получаем $$n=0$$ или $$n=1$$.
Если $$n=0$$, то числа: $$-1,\ 0,\ 1,\ 2.$$
Если $$n=1$$, то числа: $$0,\ 1,\ 2,\ 3.$$