Упр.70 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (1+1/a):(1-1/a);
2) (a+a/b)(a-a/b);
Доказать, что:
1) если x+y>5 и x<2,то y>3;
2) если x-y<-3 и x>4,то y>7;
3) если a-3b<5 и a>-4,то b>-3;
4) если 2a+3b>1 и a<2,то b>-1.

1. $$\left(1+\frac{1}{a}\right):\left(1-\frac{1}{a}\right)=\frac{a+1}{a}:\frac{a-1}{a}=\frac{a+1}{a}\cdot\frac{a}{a-1}=\frac{a+1}{a-1}.$$

2. $$\left(a+\frac{a}{b}\right)\left(a-\frac{a}{b}\right)=\left(\frac{ab+a}{b}\right)\left(\frac{ab-a}{b}\right)=\frac{(ab+a)(ab-a)}{b^2}.$$

   $$\frac{(ab+a)(ab-a)}{b^2}=\frac{a^2(b+1)(b-1)}{b^2}=\frac{a^2(b^2-1)}{b^2}.$$

3. Если $$x+y>5$$ и $$x<2$$, то

   $$x+y>5,$$
   $$2>x.$$

   Складываем неравенства:

   $$x+y+2>5+x.$$

   Вычитаем из обеих частей $$x+2$$:

   $$y>3.$$

4. Если $$x-y<-3$$ и $$x>4$$, то

   $$x-y<-3,$$
   $$4<x.$$

   Складываем неравенства:

   $$x-y+4<x-3.$$

   Вычитаем из обеих частей $$x+4$$:

   $$-y<-7,$$
   $$y>7.$$

5. Если $$a-3b<5$$ и $$a>-4$$, то

   $$a-3b<5,$$
   $$-4<a.$$

   Складываем неравенства:

   $$a-3b-4<5+a.$$

   Вычитаем из обеих частей $$a-4$$:

   $$-3b<9,$$
   $$b>-3.$$

6. Если $$2a+3b>1$$ и $$a<2$$, то

   $$2a+3b>1,$$
   $$2a<4.$$

   Складываем неравенства:

   $$2a+3b+4>1+2a.$$

   Вычитаем из обеих частей $$2a+4$$:

   $$3b>-3,$$
   $$b>-1.$$

Ответ

1) $$\frac{a+1}{a-1}$$; 2) $$\frac{a^2(b^2-1)}{b^2}$$; 3) $$y>3$$; 4) $$y>7$$; 5) $$b>-3$$; 6) $$b>-1$$.