Упр.699 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) 4x^4-17x^2+4=0;
2) 4x^4-37x^2+9=0;
3) x^4-7x^2+12=0;
4) x^4-11x^2+18=0.
Решить неравенство:
1) (x^4-5x^2-36)/(x^2+x-2)?0;
2) (x^4+4x^2-5)/(x^2+5x+6)?0;
3) (x^4-2x^2-8)/(x^4-2x^2-3)>0.
$$4x^4-17x^2+4=0$$
Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда
$$4y^2-17y+4=0$$
$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$$
$$y_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}$$
$$y_1=\frac14,\quad y_2=4$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm \frac12$$
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$4x^4-37x^2+9=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$4y^2-37y+9=0$$
$$D=37^2-4\cdot 4\cdot 9=1369-144=1225$$
$$y_{1,2}=\frac{37\pm 35}{8}$$
$$y_1=\frac14,\quad y_2=9$$
Следовательно,
$$x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm \frac12$$
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
$$x^4-7x^2+12=0$$
Сделаем замену: $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-7y+12=0$$
$$y^2-7y+12=(y-3)(y-4)=0$$
$$y_1=3,\quad y_2=4$$
Значит,
$$x^2=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt3$$
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$x^4-11x^2+18=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-11y+18=0$$
$$y^2-11y+18=(y-2)(y-9)=0$$
$$y_1=2,\quad y_2=9$$
Следовательно,
$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt2$$
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
$$\frac{x^4-5x^2-36}{x^2+x-2}\ge 0$$
Разложим на множители:
$$x^4-5x^2-36=(x^2-9)(x^2+4)=(x-3)(x+3)(x^2+4)$$
$$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$$
Тогда
$$\frac{(x^2+4)(x-3)(x+3)}{(x-1)(x+2)}\ge 0$$
Так как $$x^2+4>0$$ при всех $$x$$, достаточно исследовать знак выражения
$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-1)(x+2)}\ge 0$$
Критические точки: $$-3,\,-2,\,1,\,3$$. По знакам получаем
$$(-\infty;-3]\cup(-2;1)\cup[3;+\infty)$$
$$\frac{x^4+4x^2-5}{x^2+5x+6}\le 0$$
Разложим числитель и знаменатель:
$$x^4+4x^2-5=(x^2-1)(x^2+5)=(x-1)(x+1)(x^2+5)$$
$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$
Тогда
$$\frac{(x^2+5)(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+3)}\le 0$$
Так как $$x^2+5>0$$ при всех $$x$$, решаем неравенство
$$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+3)}\le 0$$
Критические точки: $$-3,\,-2,\,-1,\,1$$. Получаем
$$(-3;-2)\cup[-1;1]$$
$$\frac{x^4-2x^2-8}{x^4-2x^2-3}>0$$
Разложим на множители:
$$x^4-2x^2-8=(x^2-4)(x^2+2)=(x-2)(x+2)(x^2+2)$$
$$x^4-2x^2-3=(x^2-3)(x^2+1)=(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x^2+1)$$
Тогда
$$\frac{(x^2+2)(x-2)(x+2)}{(x^2+1)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)}>0$$
Так как $$x^2+2>0$$ и $$x^2+1>0$$ при всех $$x$$, исследуем знак
$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)}>0$$
Критические точки: $$-\!2,\,-\sqrt3,\,\sqrt3,\,2$$. По знакам получаем
$$(-\infty;-2)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(2;+\infty)$$
Ответ
1) $$x=\pm \frac12,\ \pm 2$$;
2) $$x=\pm \frac12,\ \pm 3$$;
3) $$x=\pm \sqrt3,\ \pm 2$$;
4) $$x=\pm \sqrt2,\ \pm 3$$;
5) $$(-\infty;-3]\cup(-2;1)\cup[3;+\infty)$$;
6) $$(-3;-2)\cup[-1;1]$$;
7) $$(-\infty;-2)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(2;+\infty)$$.
