Упр.698 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) x^2 -8x+15=0; 2) x^2 +bx+c=0. В одной системе координат построить графики функций и выяснить, при каких x значения функции больше (меньше) значений другой, результат проверить, решив соответствующее неравенство:
1) y=2x^2, y=2-3x;
2) y=x^2-2, y=1-2x;
3) y=x^2-5x+4, y=7-3x;
4) y=3x^2-2x+5, y=5x+3;
5) y=x^2-2x, y=-x^2+x+5;
6) y=2x^2-3x+5, y=x^2+4x-5.

Подробный ответ

Если корни уравнения $$x^2-8x+15=0$$ обозначить через $$x_1$$ и $$x_2$$, то по теореме Виета
$$x_1+x_2=8,\quad x_1x_2=15.$$
У нового уравнения корни должны быть $$-x_1$$ и $$-x_2$$. Тогда
$$(-x_1)+(-x_2)=-(x_1+x_2)=-8,\quad (-x_1)(-x_2)=x_1x_2=15.$$
Следовательно, искомое уравнение:
$$x^2+8x+15=0.$$
Для уравнения $$x^2+bx+c=0$$ пусть корни равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда
$$x_1+x_2=-b,\quad x_1x_2=c.$$
Если заменить оба корня на противоположные, получим
$$(-x_1)+(-x_2)=b,\quad (-x_1)(-x_2)=c.$$
Значит, новое уравнение имеет вид
$$x^2-bx+c=0.$$
1) Сравним функции $$y=2x^2$$ и $$y=2-3x$$:
$$2x^2<2-3x$$
$$2x^2+3x-2<0$$
$$2x^2+3x-2=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25,$$
$$x_1=\frac{-3-5}{4}=-2,\quad x_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, неравенство выполняется между корнями:
$$-2<x<\frac12.$$
2) Для $$y=x^2-2$$ и $$y=1-2x$$:
$$x^2-2<1-2x$$
$$x^2+2x-3<0$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1.$$
Ответ:
$$-3<x<1.$$
3) Для $$y=x^2-5x+4$$ и $$y=7-3x$$:
$$x^2-5x+4<7-3x$$
$$x^2-2x-3<0$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3.$$
Следовательно,
$$-1<x<3.$$
4) Для $$y=3x^2-2x+5$$ и $$y=5x+3$$:
$$3x^2-2x+5<5x+3$$
$$3x^2-7x+2<0$$
$$3x^2-7x+2=0$$
$$D=49-24=25,$$
$$x_1=\frac{7-5}{6}=\frac13,\quad x_2=\frac{7+5}{6}=2.$$
Значит,
$$\frac13<x<2.$$
5) Для $$y=x^2-2x$$ и $$y=-x^2+x+5$$:
$$x^2-2x<-x^2+x+5$$
$$2x^2-3x-5<0$$
$$2x^2-3x-5=0$$
$$D=9+40=49,$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac52.$$
Следовательно,
$$-1<x<\frac52.$$
6) Для $$y=2x^2-3x+5$$ и $$y=x^2+4x-5$$:
$$2x^2-3x+5<x^2+4x-5$$
$$x^2-7x+10<0$$
$$x^2-7x+10=0$$
$$x_1=2,\quad x_2=5.$$
Значит,
$$2<x<5.$$