Упр.697 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Найти коэффициенты p и q, если известно, что числа 10 и -15 являются корнями уравнения x^2 +px+q=0. Катер должен не более чем за 4 ч пройти по течению реки 22,5 км и вернуться обратно. С какой скоростью относительно воды должен идти катер, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

1) Для уравнения $$x^2+px+q=0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

Так как $$x_1=10$$ и $$x_2=-15,$$ то

$$10+(-15)=-p,$$
$$-5=-p,$$
$$p=5.$$

А также

$$10\cdot(-15)=q,$$
$$q=-150.$$

2) Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда по течению его скорость равна $$x+3$$ км/ч, а против течения — $$x-3$$ км/ч.

Время движения туда и обратно не более $$4$$ ч, значит:

$$\frac{22{,}5}{x+3}+\frac{22{,}5}{x-3}\le 4.$$

ОДЗ: $$x-3>0,$$ то есть $$x>3.$$

Решим неравенство:

$$\frac{22{,}5(x-3)+22{,}5(x+3)}{x^2-9}\le 4,$$
$$\frac{45x}{x^2-9}\le 4,$$
$$\frac{45x-4x^2+36}{x^2-9}\le 0,$$
$$\frac{4x^2-45x-36}{x^2-9}\ge 0.$$

Найдём корни числителя:

$$4x^2-45x-36=0,$$
$$D=45^2+4\cdot 4\cdot 36=2601,$$
$$\sqrt{D}=51,$$
$$x_1=\frac{45-51}{8}=-\frac34,\qquad x_2=\frac{45+51}{8}=12.$$

Знаменатель обращается в ноль при $$x=\pm 3,$$ но по ОДЗ подходит только $$x>3.$$ Тогда из таблицы знаков получаем:

$$x\ge 12.$$

Ответ

$$p=5,\quad q=-150;\quad x\ge 12\text{ км/ч}.$$