Упр.696 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) x^2+3x+70=0;
2) x^2-12x+11=0;
3) x^2+20x+100=0;
4) x^2+18x-208=0;
5) x(x-15)=3(108-5x);
6) (x-3)^2+(x+4)^2-(x-5)^2=17x+24;
7) (5x^2+9)/6-(4x^2-9)/5=3;
8) x(x-3)/7-11=-x.
Решить неравенство:
1) (3x^2-5x-8)/(2x^2-5x-3)>0;
2) (4x^2+x-3)/(5x^2+9x-2)<0; 3) (2+9x-5x^2)/(3x^2-2x-1)?0.

1. $$x^2+3x+70=0$$
   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot 70=9-280=-271<0$$ Корней нет.

2. $$x^2-12x+11=0$$
   $$D=12^2-4\cdot 1\cdot 11=144-44=100$$
   $$x_{1,2}=\frac{12\pm 10}{2}$$
   $$x_1=1,\quad x_2=11$$

3. $$x^2+20x+100=0$$
   $$\left(x+10\right)^2=0$$
   $$x=-10$$

4. $$x^2+18x-208=0$$
   $$D=18^2-4\cdot 1\cdot (-208)=324+832=1156$$
   $$x_{1,2}=\frac{-18\pm 34}{2}$$
   $$x_1=-26,\quad x_2=8$$

5. $$x(x-15)=3(108-5x)$$
   $$x^2-15x=324-15x$$
   $$x^2=324$$
   $$x=\pm 18$$

6. $$(x-3)^2+(x+4)^2-(x-5)^2=17x+24$$
   $$x^2-6x+9+x^2+8x+16-x^2+10x-25=17x+24$$
   $$x^2+12x=17x+24$$
   $$x^2-5x-24=0$$
   $$\left(x-8\right)\left(x+3\right)=0$$
   $$x=8 \text{ или } x=-3$$

7. $$\frac{5x^2+9}{6}-\frac{4x^2-9}{5}=3$$
   Умножим на $$30$$:
   $$5(5x^2+9)-6(4x^2-9)=90$$
   $$25x^2+45-24x^2+54=90$$
   $$x^2+99=90$$
   $$x^2=-9$$
   Корней нет.

8. $$\frac{x(x-3)}{7}-11=-x$$
   Умножим на $$7$$:
   $$x(x-3)-77=-7x$$
   $$x^2-3x-77=-7x$$
   $$x^2+4x-77=0$$
   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot (-77)=16+308=324$$
   $$x_{1,2}=\frac{-4\pm 18}{2}$$
   $$x_1=-11,\quad x_2=7$$

Решение неравенств

1. $$\frac{3x^2-5x-8}{2x^2-5x-3}>0$$
   $$3x^2-5x-8=(3x+4)(x-2)$$
   $$2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)$$
   Критические точки: $$x=-\frac{4}{3},\ -\frac{1}{2},\ 2,\ 3$$.
   По знакам на промежутках получаем:
   $$(-\infty;-\frac{4}{3})\cup\left(-\frac{1}{2};2\right)\cup(3;+\infty)$$

2. $$\frac{4x^2+x-3}{5x^2+9x-2}<0$$ $$4x^2+x-3=(4x+3)(x-1)$$ $$5x^2+9x-2=(5x-1)(x+2)$$ Критические точки: $$x=-2,\ -\frac{3}{4},\ \frac{1}{5},\ 1$$. По знакам на промежутках: $$(-2;-\frac{3}{4})\cup\left(\frac{1}{5};1\right)$$

3. $$\frac{2+9x-5x^2}{3x^2-2x-1}\ge 0$$
   $$2+9x-5x^2=-(5x^2-9x-2)=-(5x+1)(x-2)$$
   $$3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$$
   Критические точки: $$x=-\frac{1}{3},\ -\frac{1}{5},\ 1,\ 2$$.
   По знакам:
   $$\left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{5}\right]\cup(1;2]$$

Ответ

1) Корней нет; 2) $$x=1,\ 11$$; 3) $$x=-10$$; 4) $$x=-26,\ 8$$; 5) $$x=\pm 18$$; 6) $$x=-3,\ 8$$; 7) Корней нет; 8) $$x=-11,\ 7$$.

Неравенства: 1) $$(-\infty;-\frac{4}{3})\cup\left(-\frac{1}{2};2\right)\cup(3;+\infty)$$; 2) $$(-2;-\frac{3}{4})\cup\left(\frac{1}{5};1\right)$$; 3) $$\left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{5}\right]\cup(1;2]$$.