Упр.695 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 1/9 x^2+1/2 x+9/16=0;
2) 5/4 x^2-x+1/9=0;
3) (3x^2-11)/8+(74-2x^2)/12=10.
Решить неравенство:
1) 2/(x-v2)?3/(x+v2);
2) v3/(3-x^2 )<2/(v3-x); 3) 3/(x^2-1)-1/2<3/(2x-2).

1. $$\frac{1}{9}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{9}{16}=0$$
   Умножим на $$144$$:
   $$16x^2+72x+81=0$$
   $$\left(4x+9\right)^2=0$$
   $$4x+9=0$$
   $$x=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}$$

2. $$\frac{5}{4}x^2-x+\frac{1}{9}=0$$
   Умножим на $$36$$:
   $$45x^2-36x+4=0$$
   $$D=36^2-4\cdot45\cdot4=1296-720=576$$
   $$\sqrt{D}=24$$
   $$x_{1,2}=\frac{36\pm24}{2\cdot45}$$
   $$x_1=\frac{12}{90}=\frac{2}{15},\qquad x_2=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}$$

3. $$\frac{3x^2-11}{8}+\frac{74-2x^2}{12}=10$$
   Умножим на $$24$$:
   $$3(3x^2-11)+2(74-2x^2)=240$$
   $$9x^2-33+148-4x^2=240$$
   $$5x^2+115=240$$
   $$5x^2=125$$
   $$x^2=25$$
   $$x=\pm5$$

4. $$\frac{2}{x-\sqrt{2}}\ge \frac{3}{x+\sqrt{2}}$$
   Перенесём в одну дробь:
   $$\frac{2(x+\sqrt{2})-3(x-\sqrt{2})}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}\ge 0$$
   $$\frac{5\sqrt{2}-x}{x^2-2}\ge 0$$
   Критические точки: $$x=-\sqrt{2},\ \sqrt{2},\ 5\sqrt{2}$$.
   По знакам получаем:
   $$x\in(-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};5\sqrt{2}]$$

5. $$\frac{\sqrt{3}}{3-x^2}<\frac{2}{\sqrt{3}-x}$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-x)-2(3-x^2)}{(3-x^2)(\sqrt{3}-x)}<0$$ $$\frac{3-\sqrt{3}x-6+4x^2}{(3-x^2)(\sqrt{3}-x)}<0$$ $$\frac{4x^2-\sqrt{3}x-3}{(3-x^2)(\sqrt{3}-x)}<0$$ Числитель раскладывается: $$4x^2-\sqrt{3}x-3=(x-\sqrt{3})(4x+ \sqrt{3})$$ Знаменатель: $$3-x^2=(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)$$ После сокращения и исследования знаков получаем: $$x\in(-\infty;-\sqrt{3})\cup\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\sqrt{3}\right)$$

6. $$\frac{3}{x^2-1}-\frac{1}{2}<\frac{3}{2x-2}$$ Умножим на $$2(x^2-1)$$, учитывая ОДЗ: $$x\ne\pm1$$. Получаем: $$6-(x^2-1)-3(x+1)<0$$ $$-x^2-3x+4<0$$ $$x^2+3x-4>0$$
   $$\left(x+4\right)\left(x-1\right)>0$$
   С учётом ОДЗ:
   $$x\in(-\infty;-4)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$

Ответ

1) $$x=-\frac{9}{4}$$;
2) $$x=\frac{2}{15},\ \frac{2}{3}$$;
3) $$x=\pm5$$;
4) $$(-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};5\sqrt{2}]$$;
5) $$(-\infty;-\sqrt{3})\cup\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\sqrt{3}\right)$$;
6) $$(-\infty;-4)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$.