Упр.691 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$ см, тогда другая сторона равна $$x+2$$ см.

Площадь прямоугольника:

$$S_{\text{пр}}=x(x+2).$$

Периметр прямоугольника:

$$P=2(x+x+2)=4x+4.$$

Сторона квадрата на 4 см меньше периметра прямоугольника, значит она равна

$$4x+4-4=4x.$$

Тогда площадь квадрата:

$$S_{\text{кв}}=(4x)^2=16x^2.$$

По условию площади равны, составим уравнение:

$$x(x+2)=16x^2$$

$$x^2+2x=16x^2$$

$$15x^2-2x=0$$

$$x(15x-2)=0.$$

Получаем:

$$x=0 \quad \text{или} \quad 15x-2=0.$$

Значение $$x=0$$ не подходит, так как сторона прямоугольника не может быть равна нулю. Тогда

$$15x=2,\quad x=\frac{2}{15}.$$

Вторая сторона:

$$x+2=\frac{2}{15}+2=\frac{32}{15}.$$

1) $$(x-2)(x^2-9)>0$$

$$(x-2)(x-3)(x+3)>0$$

Корни: $$x=-3,\;2,\;3.$$

По знакам на промежутках:

$$(-3;2)\cup(3;+\infty).$$

2) $$(x^2-1)(x+4)<0$$

$$(x-1)(x+1)(x+4)<0$$

Корни: $$x=-4,\;-1,\;1.$$

Ответ:

$$(-\infty;-4)\cup(-1;1).$$

3) $$\frac{(x+3)(x-5)}{x+1}\le 0$$

Корни числителя: $$x=-3,\;5,$$ точка разрыва: $$x=-1.$$

Ответ:

$$(-\infty;-3]\cup(-1;5].$$

4) $$\frac{x-7}{(4-x)(2x+1)}\ge 0$$

Корни числителя и знаменателя: $$x=7,\;x=4,\;x=-\frac12.$$

Ответ:

$$(-\infty;-\tfrac12)\cup(4;7].$$

5) $$\frac{4x^2-4x-3}{x+3}\ge 0$$

$$4x^2-4x-3=(2x-3)(2x+1).$$

Корни: $$x=-3,\;-\frac12,\;\frac32.$$

Ответ:

$$(-3;-\tfrac12]\cup[\tfrac32;+\infty).$$

6) $$\frac{2x^2-3x-2}{x-3}<0$$

$$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2).$$

Корни: $$x=-\frac12,\;2,$$ точка разрыва: $$x=3.$$

Ответ:

$$(-\infty;-\tfrac12)\cup(2;3).$$

Ответ

Стороны прямоугольника: $$\frac{2}{15}\text{ см}$$ и $$\frac{32}{15}\text{ см}$$.

1) $$(-3;2)\cup(3;+\infty)$$

2) $$(-\infty;-4)\cup(-1;1)$$

3) $$(-\infty;-3]\cup(-1;5]$$

4) $$(-\infty;-\tfrac12)\cup(4;7]$$

5) $$(-3;-\tfrac12]\cup[\tfrac32;+\infty)$$

6) $$(-\infty;-\tfrac12)\cup(2;3)$$