Упр.69 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a/2+a/3)·1/a^2 ;
2) a^2/3·(2/a+2/a^2 );
3) (a-b)/(a+b)·(a/5+b/5);
4) ab/(a-b)·(1/b-1/a);
5) 1:(1-1/a);
6) b:(b+1/b).
Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри прямоугольника, до его вершин больше полупериметра прямоугольника.

1. $$\left(\frac{a}{2}+\frac{a}{3}\right)\cdot \frac{1}{a^2}=\left(\frac{3a+2a}{6}\right)\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{5a}{6}\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{5}{6a}.$$
2. $$\frac{a^2}{3}\cdot \left(\frac{2}{a}+\frac{2}{a^2}\right)=\frac{a^2}{3}\cdot \frac{2a+2}{a^2}=\frac{2a+2}{3}.$$
3. $$\frac{a-b}{a+b}\cdot \left(\frac{a}{5}+\frac{b}{5}\right)=\frac{a-b}{a+b}\cdot \frac{a+b}{5}=\frac{a-b}{5}.$$
4. $$\frac{ab}{a-b}\cdot \left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)=\frac{ab}{a-b}\cdot \frac{a-b}{ab}=1.$$
5. $$1:\left(1-\frac{1}{a}\right)=1:\frac{a-1}{a}=1\cdot \frac{a}{a-1}=\frac{a}{a-1}.$$
6. $$b:\left(b+\frac{1}{b}\right)=b:\frac{b^2+1}{b}=b\cdot \frac{b}{b^2+1}=\frac{b^2}{b^2+1}.$$

Докажем, что сумма расстояний от любой точки внутри прямоугольника до его вершин больше полупериметра прямоугольника.

Пусть прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$, а расстояния от внутренней точки до его вершин равны $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_4$.

По неравенству треугольника:

$$p_1+p_2>b,\qquad p_1+p_3>a,\qquad p_2+p_4>a,\qquad p_3+p_4>b.$$

Сложим эти неравенства:

$$ \begin{aligned} (p_1+p_2)+(p_1+p_3)+(p_2+p_4)+(p_3+p_4) > 2a+2b,\\ 2(p_1+p_2+p_3+p_4) > 2(a+b),\\ p_1+p_2+p_3+p_4 > a+b. \end{aligned} $$

Периметр прямоугольника равен $$P=2(a+b),$$ значит его полупериметр равен $$\frac{P}{2}=a+b.$$

Следовательно,

$$p_1+p_2+p_3+p_4>\frac{P}{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{5}{6a}$$; 2) $$\frac{2a+2}{3}$$; 3) $$\frac{a-b}{5}$$; 4) $$1$$; 5) $$\frac{a}{a-1}$$; 6) $$\frac{b^2}{b^2+1}$$; сумма расстояний больше полупериметра прямоугольника.